Sprężyny szeregowo i równolegle: co jest wspólne w każdym połączeniu?

Potrzebne wiadomości: Prawo Hooke'a, równowaga sił i energia sprężystości.

Wydłużenie zaczyna się od długości swobodnej

Sprężyna mająca bez obciążenia 10 cm i po rozciągnięciu 13 cm wydłużyła się o 3 cm, a nie 13 cm. Prawo Hooke’a wiąże siłę z tym przyrostem względem długości swobodnej. Stała k mówi, ile niutonów potrzeba na jednostkę wydłużenia w przyjętym liniowym zakresie. Większe k oznacza sprężynę sztywniejszą, a nie większą energię niezależnie od sposobu obciążenia.

Przy powolnym rozciąganiu wartość siły zewnętrznej wynosi kx, a siła sprężyny na ciągnący koniec jest przeciwna. Dla osi wzdłuż sprężyny możemy zapisać F_{s,x}=-kx, jeśli x jest zmianą długości ze znakiem, mierzoną od konfiguracji o długości swobodnej. Nie jest to automatycznie wychylenie od równowagi całego obciążonego układu. W zadaniach statycznych zwykle operujemy dodatnią wartością wydłużenia i porównujemy wartości przeciwnych sił. Minus nie jest informacją, że stała sprężyny ma być ujemna.

Model liniowej sprężyny

Wartość siły potrzebnej do powolnego wydłużania idealnej sprężyny wynosi F=kx, gdzie x mierzymy względem długości swobodnej. Stała k ma jednostkę N/m. Zależność dotyczy przyjętego zakresu odkształceń, a nie dowolnego rozciągania.

Przy osiowym połączeniu równoległym sprężyn o jednakowej długości swobodnej, bez wstępnego naprężenia i ze wspólnymi sztywnymi końcami obie sprężyny wydłużają się o to samo x. Siły się dodają, więc k_z=k_1+k_2. Przy połączeniu szeregowym lekkie połączenie pośrednie jest w równowadze, zatem przez obie sprężyny przenoszona jest ta sama siła. Dodają się wydłużenia: 1/k_z=1/k_1+1/k_2.

Przykład

Dwie sprężyny po 100 N/m mają równolegle stałą 200 N/m, a szeregowo 50 N/m. Siła 10 N wydłuży pierwszy układ o 5 cm, drugi o 20 cm. W szeregowym układzie każda sprężyna wydłuża się o 10 cm; nie dzielimy siły na dwie połowy.

Energia idealnego układu dla całkowitego wydłużenia x wynosi E=k_zx^2/2. Można ją skontrolować, sumując energie poszczególnych sprężyn. Masa sprężyn, tarcie prowadnic i geometria skośna wymagają dodatkowej analizy. Wzory zakładają ruch wzdłuż osi i odpowiednie warunki podparcia.

Stała zastępcza wynosi 400 N/m równolegle i 75 N/m szeregowo. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Równolegle: wspólna zmiana długości

Wyobraź sobie dwie sprężyny między dwiema sztywnymi płytkami. Jeżeli mają jednakową długość swobodną, ich końce przemieszczają się jednakowo i każda wydłuża się o to samo x. Siły nie muszą być jednakowe: F₁ = k₁x, F₂ = k₂x. Zewnętrzne obciążenie równoważy ich sumę F = (k₁+k₂)x. Stąd k_z = k₁+k₂. Związek wynika ze wspólnego wydłużenia i sumy sił, nie z podobieństwa do dowolnego innego połączenia elementów.

Sprężyny 100 i 300 N/m pod siłą 8 N mają wspólne x = 8/400 = 0,020 m. Pierwsza przenosi 2 N, druga 6 N. Równy podział po 4 N wymagałby różnych wydłużeń 0,040 i 0,0133 m, sprzecznych ze sztywnymi wspólnymi końcami. Wymienione warunki geometrii są więc częścią wyprowadzenia. Przy różnych długościach swobodnych albo wstępnym naprężeniu trzeba dodatkowo uwzględnić początkowe obciążenia i to, czy obie sprężyny od początku pracują.

Szeregowo: wspólna siła

Teraz połączmy koniec pierwszej z początkiem drugiej, a cały układ ciągnijmy osiowo. Lekki środkowy łącznik w równowadze ma dwie przeciwne siły o równych wartościach. Każda sprężyna przenosi więc pełne F, a nie połowę. Wydłużenia to x₁ = F/k₁ i x₂ = F/k₂. Całkowite x = x₁+x₂ = F (1/k₁+1/k₂). Definiując F = k_z·x, otrzymujemy 1/k_z = 1/k₁+1/k₂.

Dla 100 i 300 N/m oraz 6 N wydłużenia wynoszą 0,060 i 0,020 m. Razem 0,080 m, więc k_z = 75 N/m. Jest mniejsze niż stała każdej części, bo do wydłużenia pierwszej dodaje się drugie. W granicy bardzo sztywnej drugiej sprężyny jej wydłużenie staje się pomijalne, a układ zachowuje się jak pierwsza. To użyteczna kontrola wzoru z odwrotnościami.

Przykład energetyczny bez nowego prawa

Siła podczas powolnego rozciągania idealnej sprężyny rośnie od 0 do kx. Pole pod prostoliniowym wykresem F (x) jest trójkątem, więc praca wynosi kx²/2. W idealnym sprężystym modelu pozostaje ona jako energia sprężyny. Dla szeregu z poprzedniego przykładu energie to 100·0,060²/2 = 0,18 J i 300·0,020²/2 = 0,06 J. Suma 0,24 J zgadza się z 75·0,080²/2 = 0,24 J.

To równanie nie oznacza, że można użyć końcowej siły 6 N przez całą drogę 0,080 m i uzyskać 0,48 J. Początkowo siła była mniejsza. Średnia podczas liniowego, powolnego rozciągania od zera wynosiła 3 N. Przy szybkim puszczeniu obciążnika pojawia się ruch i energia kinetyczna, więc samo równanie równowagi F = kx nie ustala największego chwilowego wydłużenia.

Przecięcie sprężyny to zmiana elementów

Jeżeli w przyjętym modelu sztywność jednorodnej sprężyny jest odwrotnie proporcjonalna do długości, jej połowa ma dwa razy większe k. Dwie połowy połączone szeregowo odtworzą pierwotną długość i sztywność. Połączenie tych samych połówek równolegle da natomiast czterokrotność pierwotnego k. Nie wolno zakładać, że każda połowa zachowała starą stałą tylko dlatego, że wykonano ją z tego samego materiału.

Sprawdź się: dwie identyczne sprężyny po 100 N/m obciążamy łącznie 10 N. Odpowiedź: równolegle x = 0,050 m, szeregowo x = 0,20 m. W pierwszym wariancie każda przenosi 5 N; w drugim każda 10 N. Wspólna wielkość jest inna w każdym połączeniu. Zawsze zacznij od pytania o geometrię końców i bilans sił w połączeniu, a wzór zastępczy będzie wynikiem rozumowania.

Co utrzymujesz stałe: siłę czy wydłużenie?

Dwie sprężyny mogą zamienić się kolejnością pod względem zmagazynowanej energii, jeżeli zmienimy sposób porównania. Dla narzuconego wydłużenia x energia U=kx^2/2 rośnie ze sztywnością. Dla narzuconej końcowej siły w równowadze podstawiamy x = F/k i otrzymujemy:

U=\frac{F^2}{2k}.

Weźmy k = 100 i 300 N/m. Przy jednakowym x = 0,020 m energie to 0,020 i 0,060 J: sztywniejsza magazynuje więcej. Przy jednakowym F = 6 N wydłużenia to 0,060 i 0,020 m, a energie 0,180 i 0,060 J: teraz więcej magazynuje bardziej podatna. Wyniki nie są sprzeczne, bo w drugim doświadczeniu pozwoliliśmy końcom przebyć różne drogi.

Przy zewnętrznej sile działającej powoli od zera wykres F (x) rozlicza wykonaną pracę. Gdy po prostu nagle przyłożymy stałe 6 N do nieodkształconej sprężyny z masą na końcu, część pracy początkowo staje się energią ruchu. Nie jest to ten sam proces co stopniowe zwiększanie siły do 6 N. Zanim porównasz wyniki, zapisz warunek sterujący i informację, czy końcowy stan jest statyczny.

Nachylenie wykresu wynosi 2 N/cm = 200 N/m. Pole pod nim odpowiada pracy powolnego rozciągania. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Dwa różne zera na pionowej sprężynie

Zawieśmy masę 1 kg na sprężynie o stałej 100 N/m i przyjmijmy g = 10 m/s². Wybieramy oś w dół, a x = 0 przy końcu nierozciągniętej sprężyny. Ciężar ma składową +mg, siła sprężyny −kx. Położenie statycznej równowagi spełnia:

mg-kx_0=0,\qquad x_0=\frac{mg}{k}=0{,}10\ \mathrm m.

W równowadze siła sprężyny nadal ma 10 N; zerowa jest suma sił. Wychylenie od tej równowagi nazwijmy \xi=x-x_0. Wówczas:

F_{w,x}=mg-k(x_0+\xi)=-k\xi.

Dla ξ = 0,050 m całkowite wydłużenie wynosi 0,150 m, siła sprężyny ma 15 N w górę, a ciężar 10 N w dół. Wypadkowa to −5 N, czyli 5 N w górę. Wzór −kξ opisuje tu wypadkową, a nie samą siłę sprężyny. Rozróżnienie obu początków współrzędnych usuwa pozorny paradoks: ciało może być w równowadze, choć sprężyna pozostaje rozciągnięta.

Najpierw wybierz początek współrzędnej. Długość swobodna i równowaga obciążonej sprężyny to dwa różne położenia. Kliknij rysunek, aby odczytać go w pełnym rozmiarze.

Zadania do tego tematu

• Stała sprężyny i wydłużenie pod siłą sześciu niutonów
• Dwie różne sprężyny równoległe dzielą obciążenie nierówno
• Sprężyny szeregowe: suma wydłużeń i kontrola energii
• Dwie połowy jednorodnej sprężyny połączone równolegle

Dalsza lektura

Materiał referencyjny