Sprężyny szeregowe: suma wydłużeń i kontrola energii

Rozwiązanie

Lekki łącznik pośrodku wymaga równych przeciwnych sił. Nie dzieli zewnętrznej siły na połowy. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

W szeregu wspólna jest siła, nie wydłużenie

Lekki łącznik pomiędzy sprężynami pozostaje w równowadze, więc obie przenoszą tę samą siłę 6 N. Wydłużenia mogą być różne: dla 100 N/m x₁ = 6/100, dla 300 N/m x₂ = 6/300. Całkowita zmiana długości jest ich sumą.

Sztywność zastępcza i energia

x_1=0{,}060\ \mathrm m,\quad x_2=0{,}020\ \mathrm m,\quad x=0{,}080\ \mathrm m,\quad k_z=\frac6{0{,}080}=75\ \mathrm{N/m}.

Każda energia ma postać kᵢxᵢ²/2. Liczymy je osobno i dodajemy, ponieważ obejmują dwa odkształcone elementy. Nie podstawiamy całkowitego 0,080 m jako wydłużenia każdej części.

Wynik

Wydłużenia wynoszą 0,060 m i 0,020 m, razem 0,080 m. Stąd k_z = 6/0,080 = 75 N/m. Energie to 0,18 J i 0,06 J, razem 0,24 J. Kontrola: 75\cdot0{,}080^2/2=0{,}24 J. Mniejsza stała zastępcza odpowiada większemu wydłużeniu pod tą samą siłą.

Dwie kontrole tego samego modelu

Odwrotności stałych dają 1/k_z = 1/100+1/300 = 1/75 m/N, zgodnie z obliczeniem przez całkowite wydłużenie. Pole pod wykresem siły układu podczas powolnego rozciągania od zera jest trójkątem o polu 6·0,080/2 = 0,24 J, zgodnie z sumą energii. Stała 75 N/m jest mniejsza od każdej stałej składowej, co powinno zachodzić w szeregu: dodatkowa sprężyna zwiększa podatność. Gdyby jedną zastąpić niemal sztywnym łącznikiem, całkowite wydłużenie zbliżyłoby się do wydłużenia drugiej. Siły 6 N nie dzielimy na po 3 N; to reguła niewłaściwa dla tego połączenia.

Jeszcze jeden krok

Gdyby siłę podwoić, każde wydłużenie oraz ich suma wzrosłyby dwukrotnie: do 0,12 m, 0,04 m i 0,16 m. Energia wzrosłaby czterokrotnie, do 0,96 J. Obliczenie to zakłada, że większe wydłużenia nadal mieszczą się w zakresie sprężystości obu elementów. Model liniowy sam nie podaje, przy jakiej sile ten zakres się kończy.

Powiązana teoria

Sprężyny szeregowo i równolegle: co jest wspólne w każdym połączeniu?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny