Naprężenie, odkształcenie i moduł Younga

Potrzebne wiadomości: Siła, pole przekroju, prawo Hooke'a i zamiana mm² na m².

Dlaczego sama siła nie wystarcza do porównania drutów?

Ta sama siła rozciągająca cienki drut i gruby pręt rozkłada się na różne pola przekroju. Żeby opisać materiał, oddzielamy siłę od geometrii. Średnie naprężenie σ = F/A mówi, jaka siła przypada na jednostkę pola. Paskal to niuton na metr kwadratowy. Przy małych przekrojach naprężenia wyrażone w paskalach mogą być duże mimo umiarkowanych sił. Nie pomyl pola poprzecznego przekroju z powierzchnią boczną całego drutu.

Samo wydłużenie również nie wystarcza: milimetr przy początkowym metrze to inna względna zmiana niż milimetr przy centymetrze. Odkształcenie względne ε = Δl/l₀ porównuje przyrost z długością początkową. Jest bezwymiarowe, jeśli obie długości zapisujemy w tych samych jednostkach. Wartość 0,001 oznacza jedną tysięczną, czyli 0,1%, a nie 0,001%. Przeliczenie na procenty wymaga pomnożenia liczby przez 100.

Od siły do naprężenia

Średnie naprężenie normalne przy osiowym rozciąganiu wynosi \sigma=F/A. Jego jednostką jest paskal. Względne odkształcenie \varepsilon=\Delta l/l_0 jest bezwymiarowe. W liniowym zakresie sprężystym zapisujemy \sigma=E\varepsilon, gdzie E to moduł Younga.

Po połączeniu równań otrzymujemy \Delta l=Fl_0/(EA). Dłuższy drut wydłuża się bardziej, grubszy mniej. Pole przekroju kołowego jest proporcjonalne do kwadratu średnicy, więc dwukrotne zwiększenie średnicy zmienia wydłużenie czterokrotnie, a nie dwukrotnie.

Przykład

Drut długości 1 m i przekroju 1 mm², o E = 100 GPa, rozciągany siłą 20 N wydłuży się o 0,00020 m, czyli 0,20 mm. Naprężenie wynosi 20 MPa, a odkształcenie 0,00020. Iloczyn E i odkształcenia odtwarza naprężenie.

Moduł Younga nie jest granicą wytrzymałości. Liniowy wykres może przestać obowiązywać przed zerwaniem, a sprężysty powrót do pierwotnego kształtu nie zawsze oznacza ścisłą liniowość. W zadaniach zakładamy jednorodny materiał, małe odkształcenia i odpowiedni zakres pracy. Sam ten rachunek nie służy do oceny nośności rzeczywistych elementów.

Nachylenie σ(ε) jest modułem E. Nie pokazano granicy zerwania ani zakresu poza modelem liniowym. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Jak trzy zależności tworzą jeden wzór?

W liniowym zakresie sprężystym σ = Eε. Podstawiając definicje, otrzymujemy F/A = EΔl/l₀. Mnożymy przez l₀ i dzielimy przez E: Δl = Fl₀/(EA). Jednostki po prawej to N·m/[(N/m²)·m²] = m. Wzór ujawnia wpływ każdego parametru: dwa razy dłuższy drut przy tych samych F,E,A wydłuży się dwa razy bardziej; dwa razy większe pole lub moduł zmniejszą wydłużenie dwukrotnie.

Jeśli zamiast pola zmieniamy średnicę, trzeba wstawić A = πd²/4. Dwa razy większa średnica daje cztery razy większe pole. Ta potęga jest powodem, dla którego „dwa razy grubszy” nie oznacza „dwa razy mniej rozciągnięty”. W zadaniach o małych odkształceniach używamy początkowego pola i długości; ich późniejsze niewielkie zmiany pomijamy zgodnie z przyjętym przybliżeniem.

Przykład: drut długości 2 m

Niech A = 1,0 mm², E = 200 GPa i F = 100 N. Najpierw przeliczamy osobno pole i moduł:

1. 1\ \mathrm{mm^2}=(10^{-3}\ \mathrm m)^2=10^{-6}\ \mathrm{m^2}.
2. 200\ \mathrm{GPa}=200\cdot10^9\ \mathrm{Pa}=2\cdot10^{11}\ \mathrm{Pa}.

Dopiero po tych konwersjach podstawiamy dane do definicji naprężenia. Naprężenie to 100/10⁻⁶ = 10⁸ Pa, czyli 100 MPa. Odkształcenie względne wynosi 10⁸/(2·10¹¹) = 5·10⁻⁴. Mnożąc przez 2 m, dostajemy 0,001 m, czyli 1 mm.

Kontrola odwrotna zaczyna się od tego milimetra: 0,001 m/2 m = 0,0005. Iloczyn Eε daje 100 MPa, a pomnożenie przez pole 10⁻⁶ m² odtwarza siłę 100 N. Gdyby ktoś przeliczył 1 mm² na 0,001 m², uzyskałby wynik tysiąc razy za mały. Błąd dotyczyłby potęg w przeliczeniu pola, a nie prawa sprężystości. Warto zapisywać konwersję przed podstawieniem, zamiast naprawiać liczbę jednostką na końcu.

Przykład: wyznaczenie właściwości materiału

Drut 1 m o przekroju 0,50 mm² wydłuża się o 0,50 mm pod 50 N. Przekształcamy wzór do E = Fl₀/(AΔl). Pole to 5·10⁻⁷ m², wydłużenie 5·10⁻⁴ m. Otrzymujemy E = 2·10¹¹ Pa = 200 GPa. Duża wartość E oznacza małe odkształcenie przy zadanym naprężeniu w zakresie, w którym obowiązuje model. Nie oznacza naprężenia, przy którym drut musi się zerwać.

Ten sam moduł mogą mieć różne materiały albo różne stany danego materiału; pojedynczy pomiar nie identyfikuje ich jednoznacznie. W praktycznym pomiarze trzeba byłoby uwzględnić niepewność długości, pola i przyrostu, ale w tym zadaniu liczby traktujemy jako dane modelowe. Nie wymyślamy wyników eksperymentu; pokazujemy, jak z podanego odkształcenia wyznaczyć parametr.

Sztywność elementu a moduł materiału

Po przepisaniu zależności do postaci F = (EA/l₀)Δl widzimy odpowiednik stałej sprężyny k = EA/l₀. E jest parametrem materiału, a k zależy również od długości i przekroju konkretnego elementu. Dwa druty z tego samego materiału mogą mieć różne sztywności. Krótszy drut jest sztywniejszy przy tym samym polu, ale jego moduł Younga nie wzrósł przez samo skrócenie.

Sprawdź się: pręt ma A = 2 mm² i E = 200 GPa, działa 60 N. Odpowiedź: σ = 30 MPa oraz ε = 1,5·10⁻⁴ = 0,015%. Wydłużenia w milimetrach nie określimy bez l₀. Dla 1 m byłoby 0,15 mm, dla 2 m 0,30 mm. Jednakowe naprężenie i odkształcenie względne mogą więc odpowiadać różnym wydłużeniom bez sprzeczności z prawem materiałowym.

Jak rozpoznać geometrię w pomiarze sztywności?

W doświadczeniu łatwiej czasem wykreślić siłę F w funkcji przyrostu długości Δl niż od razu tworzyć wykres naprężenia i odkształcenia. Nachylenie pierwszej prostej to k = EA/l₀. Dopiero pomnożenie k przez l₀/A usuwa geometrię i daje moduł materiału.

Drut z zadania, o l₀ = 1 m i A = 0,50 mm², ma k = 100000 N/m. Gdy przetniemy go na dwa identyczne odcinki i rozciągniemy osobno, każdy będzie miał k = 200000 N/m, ale ten sam E = 200 GPa. Materiał nie stał się dwukrotnie sztywniejszy w sensie modułu; pod tą samą siłą odkształca się po prostu krótszy odcinek.

Małe odkształcenie pozwala również policzyć energię na jednostkę początkowej objętości. Praca liniowego rozciągania to U = FΔl/2. Po podzieleniu przez Al₀:

\frac{U}{Al_0}=\frac12\sigma\varepsilon=\frac{\sigma^2}{2E}.

Dla σ = 100 MPa i E = 200 GPa otrzymujemy 25000 J/m³. Drut długości 2 m i pola 1 mm² ma objętość 2·10⁻⁶ m³, zatem U = 0,050 J. Kontrola bezpośrednia daje 100 N·0,001 m/2 = 0,050 J. Wielkość U/(Al₀) ma wymiar ciśnienia, lecz opisuje energię na objętość; nazwa i interpretacja nadal zależą od tego, co obliczamy.

Punkt z danych określa nachylenie w założonym liniowym modelu. Bez tego założenia jeden punkt nie wyznacza całej charakterystyki. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Materiał pozostaje ten sam, geometria się zmienia

Przy tej samej sile krótszy odcinek wydłuży się o połowę mniej. Naprężenie i odkształcenie względne pozostaną jednak takie same: nie zmieniliśmy ani materiału, ani pola, ani siły. To porównanie oddziela właściwość materiału od sztywności konkretnego elementu.

Zadania do tego tematu

• Wydłużenie dwumetrowego drutu w liniowym zakresie
• Podwojenie średnicy drutu a jego wydłużenie
• Moduł Younga wyznaczony z pomiaru wydłużenia
• Ta sama siła, różne naprężenie i różne znaczenie sztywności

Dalsza lektura

Materiał referencyjny