Podwojenie średnicy drutu a jego wydłużenie

Rozwiązanie

Większa sztywność elementu wynika z geometrii. Moduł materiału pozostaje niezmieniony. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Średnica nie jest polem

Dla kołowego przekroju A = πd²/4. Jeżeli d₂ = 2d₁, to A₂ = 4A₁. Długości, materiał i siła są takie same, więc w Δl = Fl₀/(EA) zmienia się jedynie pole w mianowniku. Możemy policzyć stosunek bez znajomości samej siły lub modułu.

Porównanie wydłużeń

\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}=\frac{A_1}{A_2}=\frac14,\qquad\Delta l_2=\frac{1{,}2}{4}=0{,}30\ \mathrm{mm}.

Nie musimy przeliczać 1,2 mm na metry, jeśli liczymy bezwymiarową część tej samej wielkości i podajemy wynik w milimetrach. Przeliczanie stałoby się konieczne przy pełnym podstawieniu do wzoru z E w paskalach.

Wynik

Dwukrotnie większa średnica oznacza czterokrotnie większe pole. Wydłużenie jest odwrotnie proporcjonalne do pola, więc drugi drut wydłuży się o 1{,}2/4=0{,}30 mm. Wynik 0,60 mm pomijałby kwadrat w zależności pola od średnicy.

Kontrola przez naprężenie i sztywność

Większy przekrój ma czterokrotnie mniejsze naprężenie przy tej samej sile. Ten sam E daje czterokrotnie mniejsze względne odkształcenie. Ponieważ początkowe długości są równe, bezwzględne wydłużenie również maleje czterokrotnie. Sztywność elementu k = EA/l₀ jest cztery razy większa, choć moduł materiału pozostaje taki sam. Wynik 0,60 mm wynikałby z potraktowania pola jako proporcjonalnego do średnicy, a nie jej kwadratu. Gdyby jednocześnie podwoić długość drugiego drutu, wydłużenie wyniosłoby 0,60 mm, ale byłby to inny wariant z dodatkową zmianą geometrii.

Jeszcze jeden krok

Co stanie się z energią sprężystą przy tej samej końcowej sile? W powolnym rozciąganiu liniowym U = FΔl/2. Czterokrotnie mniejsze wydłużenie oznacza więc czterokrotnie mniejszą energię, pomimo większej sztywności grubszego drutu. Przy porównaniu z narzuconym takim samym wydłużeniem wynik byłby odwrotny, ponieważ trzeba byłoby użyć większej siły.

Powiązana teoria

Naprężenie, odkształcenie i moduł Younga

Dalsza lektura

Materiał referencyjny