Ta sama siła, różne naprężenie i różne znaczenie sztywności

Rozwiązanie

Jednakowe σ i ε nie wyznaczają Δl. Rysunek pokazuje dwie różne odpowiedzi zgodne z dostępnymi danymi. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Wyznaczamy dwie wielkości niezależne od długości

Pole 2,0 mm² przeliczamy na 2·10⁻⁶ m², a moduł 200 GPa na 2·10¹¹ Pa. Naprężenie to siła 60 N podzielona przez pole, czyli 3·10⁷ Pa. Odkształcenie względne wyznaczamy z σ/E. Do żadnego z tych dwóch kroków nie potrzebujemy l₀.

Odkształcenie jako liczba i procent

\varepsilon=\frac{3\cdot10^7}{2\cdot10^{11}}=1{,}5\cdot10^{-4}.

Mnożenie przez 100 daje 0,015%. Nie dopisujemy do ε milimetrów, bo jest stosunkiem długości. Aby przejść do przyrostu Δl = εl₀, potrzebna jest początkowa długość. W treści jej nie ma.

Wynik

Naprężenie wynosi 60/(2\cdot10^{-6})=3\cdot10^7 Pa, czyli 30 MPa. Odkształcenie to 3\cdot10^7/(2\cdot10^{11})=1{,}5\cdot10^{-4}, czyli 0,015%. Bez długości początkowej nie można wyznaczyć wydłużenia w milimetrach. To przykład wyniku, którego nie da się uzupełnić samym wyborem większej liczby cyfr.

Dwa różne wydłużenia zgodne z tymi samymi danymi

Dla hipotetycznego l₀ = 1 m przyrost wyniósłby 0,00015 m = 0,15 mm. Dla l₀ = 2 m byłoby 0,30 mm. Oba pręty miałyby te same naprężenie 30 MPa i względne odkształcenie 0,015%, więc dostępne dane nie pozwalają wybrać jednego wyniku w milimetrach. Nie należy zgadywać długości 1 m dlatego, że jest wygodna. Kontrola σ = Eε odtwarza 30 MPa, a σA = 60 N odtwarza siłę. Zadanie jest kompletne jako pytanie o σ, ε i możliwość ustalenia Δl; brak liczbowego wydłużenia jest fizycznym wnioskiem, nie niepowodzeniem rachunku.

Jeszcze jeden krok

Gdyby pole przekroju zmniejszyć o połowę przy tej samej sile, naprężenie i odkształcenie względne wzrosłyby dwukrotnie. Bez długości nadal nie otrzymalibyśmy konkretnego wydłużenia, ale wiedzielibyśmy, że dla każdego ustalonego l₀ też byłoby dwa razy większe. Zależność można poprawnie porównywać, nawet gdy jedna z wielkości nie ma podanej wartości liczbowej.

Powiązana teoria

Naprężenie, odkształcenie i moduł Younga

Dalsza lektura

Materiał referencyjny