Wydłużenie dwumetrowego drutu w liniowym zakresie

Rozwiązanie

Każdy krok odpowiada innemu pytaniu: siła na pole, względny przyrost, przyrost długości. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Przeliczamy pole i moduł na SI

Pole 1,0 mm² to 10⁻⁶ m², ponieważ przelicznik 10⁻³ dla długości trzeba podnieść do kwadratu. Moduł 200 GPa to 2·10¹¹ Pa. Długość 2,0 m i siła 100 N są już w SI. Naprężenie σ = F/A jest średnią siłą na jednostkę przekroju poprzecznego.

Trzy następujące po sobie wielkości

Najpierw σ = 100/10⁻⁶ = 10⁸ Pa. Potem ε = σ/E = 5·10⁻⁴. Wreszcie Δl = εl₀ = 0,0010 m. Każdy krok ma inne znaczenie: naprężenie w paskalach, względna zmiana bez jednostki, bezwzględny przyrost w metrach.

Wynik

Naprężenie wynosi 100/10^{-6}=10^8 Pa, czyli 100 MPa. Odkształcenie to 10^8/(2\cdot10^{11})=5\cdot10^{-4}. Wydłużenie wynosi 2\cdot5\cdot10^{-4}=0{,}0010 m, czyli 1,0 mm. To mała względna zmiana długości, zgodna z przyjętym przybliżeniem geometrycznym.

Kontrola odwrotna i interpretacja procentowa

Przyrost 1,0 mm podzielony przez początkowe 2000 mm daje 0,0005, czyli 0,05%. Mnożąc tę liczbę przez 200 GPa, otrzymujemy 100 MPa, a przez pole po przeliczeniu na SI odtwarzamy 100 N. Wydłużenie 1 mm nie jest nową całkowitą długością; końcowo drut ma 2,001 m. Małe odkształcenie geometryczne jest zgodne z przyjętym modelem, ale samo nie dowodzi znajomości granicy sprężystości materiału. W zadaniu liniowość założono. Dwukrotna długość przy tym samym polu, materiale i sile dałaby dwukrotnie większe Δl, lecz identyczne σ i ε.

Jeszcze jeden krok

Aby otrzymać to samo wydłużenie 1 mm z drutu dwukrotnie dłuższego, przy niezmienionym przekroju i materiale wystarczyłaby siła 50 N. Naprężenie i odkształcenie względne byłyby dwukrotnie mniejsze. To pozornie paradoksalne porównanie wynika stąd, że ten sam milimetr stanowi różną część długości dwóch drutów.

Powiązana teoria

Naprężenie, odkształcenie i moduł Younga

Dalsza lektura

Materiał referencyjny