Moduł Younga wyznaczony z pomiaru wydłużenia

Rozwiązanie

Punkt z danych określa nachylenie w założonym liniowym modelu. Bez tego założenia jeden punkt nie wyznacza całej charakterystyki. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Rozwiązujemy prawo sprężystości względem E

Z σ = Eε oraz definicji σ = F/A i ε = Δl/l₀ otrzymujemy E = Fl₀/(AΔl). Dane opisują to samo osiowo rozciągane ciało; nie wolno wstawić do mianownika długości końcowej zamiast wydłużenia. Pole 0,50 mm² to 5·10⁻⁷ m², a przyrost 0,50 mm to 5·10⁻⁴ m.

Obliczenie

E=\frac{50\cdot1{,}0}{(5\cdot10^{-7})(5\cdot10^{-4})}=2\cdot10^{11}\ \mathrm{Pa}.

Jednostki N·m/(m²·m) upraszczają się do N/m², czyli Pa. Przejście na GPa polega na podzieleniu przez 10⁹, stąd 200 GPa. Nie ma tu dodatkowego czynnika 1000 z samego słowa „milimetr”, jeśli obie konwersje wykonano już osobno.

Wynik

Pole to 5\cdot10^{-7} m², a wydłużenie 5\cdot10^{-4} m. Otrzymujemy E=50/(5\cdot10^{-7}\cdot5\cdot10^{-4})=2\cdot10^{11} Pa, czyli 200 GPa. Sama liczba E nie identyfikuje jednoznacznie materiału ani jego wytrzymałości.

Kontrola drugą drogą

Naprężenie wynosi 50/(5·10⁻⁷) = 10⁸ Pa, a odkształcenie względne 0,0005/1 = 0,0005. Ich iloraz ponownie daje 2·10¹¹ Pa. Wydłużenie jest małe względem długości początkowej, zgodnie z założeniem geometrycznym. Jedna wartość modułu nie ustala granicy zerwania ani jednoznacznej nazwy materiału. Gdyby pomiar wydłużenia był zawyżony dwukrotnie przy tych samych pozostałych danych, wyliczony E byłby zaniżony dwukrotnie. To pokazuje, że moduł jest wynikiem ilorazu danych, a nie niezależnym potwierdzeniem poprawności każdego z pomiarów.

Jeszcze jeden krok

Jaki parametr opisuje sztywność tego konkretnego drutu? k = F/Δl = 50/0,0005 = 100000 N/m. Niezależnie otrzymujemy EA/l₀ = (2·10¹¹)(5·10⁻⁷)/1 = 100000 N/m. Jednostka N/m odróżnia sztywność elementu od modułu materiału wyrażonego w Pa. Zgodność obu dróg sprawdza równocześnie przeliczenie pola i wydłużenia.

Powiązana teoria

Naprężenie, odkształcenie i moduł Younga

Dalsza lektura

Materiał referencyjny