Energia w połowie amplitudy

Rozwiązanie

Pracuj na ułamku amplitudy

Dla liniowej sprężyny Ep=kx²/2, a całkowita energia E=kA²/2. Dzielenie tych równań usuwa nieznane k i daje Ep/E=(x/A)². Przy x=A/2 trzeba więc podnieść jedną drugą do kwadratu, a nie dzielić energię przez dwa.

Drugi składnik energii otrzymujemy z zachowania E: Ek=E−Ep. Wszystkie energie powinny wyjść nieujemne, a ich suma ma nadal wynosić 8 J.

W tym zadaniu nie znamy k ani A w jednostkach długości, ale nie są one potrzebne. Dzielimy energię sprężystości przy bieżącym wychyleniu przez jej wartość w skrajnym położeniu:

\frac{E_p}{E}=\frac{kx^2/2}{kA^2/2}=\left(\frac xA\right)^2,\qquad E_p=8\ \mathrm J\left(\frac12\right)^2=2\ \mathrm J.

E_k=E-E_p=8\ \mathrm J-2\ \mathrm J=6\ \mathrm J.

Przy równym podziale energii wykonujemy inne przekształcenie: Eₚ = E/2, więc (x/A)² = 1/2. Pierwiastkowanie daje dwa znaki, ponieważ po obu stronach równowagi sprężyna może przechowywać tę samą energię:

x=\pm\frac A{\sqrt2},\qquad E_p=E_k=4\ \mathrm J.

Podany stan

Energia potencjalna wynosi 8·(1/2)²=2 J. Kinetyczna jest resztą: 6 J. Znak wychylenia nie zmienia tego podziału; x=−A/2 daje te same energie.

Warunek równego podziału

Jeśli Ep=Ek, każda wynosi 4 J, czyli połowę E. Równanie (x/A)²=1/2 daje x=±A/√2≈±0,707A. Są dwa położenia, a przez każde ciężarek może przechodzić w dwóch kierunkach. Bilans energii sam nie wybiera znaku prędkości.

Kontrola krańców: przy x=0 całe 8 J jest kinetyczne, a przy |x|=A całe 8 J potencjalne. Wyniki dla połowy amplitudy i 0,707A powinny leżeć pomiędzy tymi skrajnościami.

Powiązana teoria

Faza drgań i energia: jak odczytać stan oscylatora?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny