Dwa maksima energii podczas jednego drgania

Rozwiązanie

Policz oba skrajne położenia

W ciągu jednego pełnego okresu ciężarek dociera do x=+A i x=−A. W obu miejscach x²=A², więc energia sprężystości osiąga tę samą największą wartość. Pomiędzy nimi mija połowa okresu ruchu.

Nie oznacza to, że samo wychylenie ma krótszy okres. Wychylenie ze znakiem rozróżnia +A i −A, natomiast energia zależna od kwadratu już ich nie rozróżnia.

Dla początku czasu wybranego w skrajnym położeniu zapis energii ma postać:

E_p(t)=E\cos^2\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right),\qquad E_k(t)=E\sin^2\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right).

Kosinus zmienia znak po połowie okresu, ale jego kwadrat pozostaje taki sam. Możemy sprawdzić to bez szukania maksimów pochodną: w chwilach 0, T/2 i T ciężarek jest w którymś skrajnym położeniu, więc Eₚ = E. W chwilach T/4 i 3T/4 przechodzi przez równowagę, więc Eₖ = E.

\Delta t_{\max E_p}=\frac T2=1{,}5\ \mathrm s,\qquad \Delta t_{E_p\to E_k}=\frac T4=0{,}75\ \mathrm s.

Strzałka w ostatnim indeksie opisuje odstęp między najbliższymi maksimami obu różnych energii. Nie oznacza dodatkowego okresu ruchu. Przesunięcie początku czasu zmieniłoby chwile zapisane na osi, ale nie te odstępy.

Odstęp maksimów energii potencjalnej

Maksima energii potencjalnej powtarzają się co 1,5 s. Energia zależy od x², więc nie odróżnia dwóch przeciwnych skrajnych wychyleń. Okres energii jest połową okresu ruchu.

Przejście do energii kinetycznej

Od skrajnego położenia do najbliższego przejścia przez równowagę mija T/4, czyli 0,75 s. Wtedy Ep=0, a energia kinetyczna jest największa. Kolejne maksima Eₖ też dzieli 1,5 s, ale są przesunięte w czasie względem maksimów Eₚ.

Można to sprawdzić algebraicznie: Ep jest proporcjonalne do cos²(ωt), a Ek do sin²(ωt), gdy początek czasu wybrano w skrajnym wychyleniu. Ich suma pozostaje stała w modelu bez tłumienia.

Powiązana teoria

Faza drgań i energia: jak odczytać stan oscylatora?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny