Środek masy i przewracanie: gdzie musi wypaść linia ciężaru?

Potrzebne wiadomości: Średnia ważona, ciężar i moment siły.

Środek masy nie musi być środkiem rysunku

Połóż linijkę na palcu i przesuń podparcie tak, aby nie przechylała się na żadną stronę. Dla jednorodnej linijki punkt równowagi będzie blisko połowy długości. Jeśli do jednego końca przyczepisz większą masę, punkt przesunie się ku niej. Nie trzeba znać dokładnego kształtu całego przedmiotu, aby przewidzieć ten kierunek. Środek masy jest średnią położenia ważoną masą: cięższy fragment silniej wpływa na wynik, a puste miejsce nie wnosi własnej masy.

W jednej osi każdą masę mnożymy przez jej współrzędną, dodajemy wyniki i dzielimy przez sumę mas. Jednostka licznika to kg·m, mianownika kg, więc wynik ma jednostkę długości. Gdy zmienimy początek osi, wszystkie współrzędne przesuną się o tę samą liczbę, a środek masy przesunie się o tyle samo. Nie zmieni się jego fizyczne położenie względem przedmiotu. Ujemna współrzędna oznacza położenie po drugiej stronie wybranego zera, a nie ujemną masę.

Średnia ważona masami

Dla punktowych mas na jednej osi x_{CM}=(m_1x_1+m_2x_2+\ldots)/(m_1+m_2+\ldots). Cięższa część silniej wpływa na wynik. W jednorodnym polu grawitacyjnym środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Nie musi znajdować się wewnątrz materiału: może leżeć w otworze obręczy.

Przy swobodnym podparciu bez przyklejenia reakcja powierzchni może przesuwać swoje miejsce wypadkowego działania w granicach podstawy. Na granicy przewrócenia koncentruje się przy krawędzi. Wtedy wygodnie liczyć momenty właśnie względem tej krawędzi.

Przykład

Prostopadłościan ma podstawę szerokości b w rozpatrywanym kierunku i środek masy na wysokości h nad jej środkiem. Przy powolnym przechylaniu podłoża, zakładając brak wcześniejszego poślizgu, granica wypada dla \tan\alpha=(b/2)/h. Dla b = 0,60 m i h = 0,50 m otrzymujemy około 31°.

Jeżeli ciało pchamy poziomą siłą na wysokości H, moment tej siły także może je przewrócić. Trzeba porównać próg przewrócenia z progiem poślizgu. Model pomija ugięcia, ruch dynamiczny i nierówności podłoża; nie stanowi obliczenia bezpieczeństwa mebli, pojazdów ani konstrukcji.

Punkt środka masy wynika ze średniej ważonej, a nie ze środka odcinka. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Przykład: dwa odważniki

Masy 2 kg i 3 kg leżą przy x = 0 i x = 4 m. Środek masy wynosi (2·0+3·4)/5 = 2,4 m. Do lżejszego odważnika jest 2,4 m, do cięższego 1,6 m. Iloczyny mas przez te odległości są równe: 2·2,4 = 3·1,6. W jednorodnym polu pomnożenie obu stron przez g da równość przeciwnych momentów ciężarów względem tego punktu.

Ta kontrola wyjaśnia wzór, zamiast tylko go potwierdzać. Punkt równowagi musi być bliżej cięższego odważnika, aby jego większa siła działała na mniejszym ramieniu. Średnia arytmetyczna 2 m byłaby poprawna dla równych mas. Gdy masa pręta jest istotna, trzeba uwzględnić także jej rozkład; określenie „lekki pręt” pozwala właśnie pominąć ten dodatkowy składnik.

Przykład: deska i pakunek

Jednorodna deska długości 2 m i masie 4 kg ma środek masy przy 1 m. Pakunek 20 kg umieszczony przy 1,8 m przesuwa wspólny środek do (4·1+20·1,8)/24 = 5/3 m, czyli około 1,67 m. Nie dzielimy przez liczbę obiektów 2, lecz przez łączną masę 24 kg. Wynik mieści się między 1 i 1,8 m, bo jest średnią dwóch położeń z dodatnimi wagami.

Przesunięcie samego pakunku o 0,12 m w prawo przesunęłoby wspólny środek tylko o 20·0,12/24 = 0,10 m. Reszta układu pozostaje na miejscu. Taki rachunek pozwala szybko porównać warianty bez liczenia wszystkiego od początku. Nie należy utożsamiać masy pakunku z całą masą tylko dlatego, że jest większa od masy deski; pominięcie deski dałoby zauważalnie inny punkt.

Kiedy podparcie przestaje wystarczać?

Przy spoczynku na poziomej powierzchni wypadkowa reakcja podłoża może działać w różnych miejscach podstawy. Musi tak równoważyć ciężar, aby suma momentów była zerowa. Kiedy linia ciężaru przechodzi poza obszar podparcia, żadna reakcja naciskająca wyłącznie od dołu nie zapewni równowagi. Na granicy przewrócenia punktem obrotu staje się krawędź, a przeciwległa część podstawy traci docisk.

Dla powolnie przechylanego klocka o środku masy na wysokości h i szerokości podstawy b liczymy geometrię od środka podstawy do krawędzi, czyli b/2. Na granicy pion przechodzący przez środek masy przechodzi też przez krawędź: tanα = (b/2)/h. Dla b = 0,40 m i h = 0,60 m mamy tanα = 1/3, a α≈18,43°. Wyższy środek masy zmniejsza kąt graniczny, szersza podstawa go zwiększa.

Poślizg może nastąpić wcześniej

Warunek przewrócenia sam nie mówi, czy przedmiot wcześniej zjedzie. Na przechylanej płaszczyźnie próg poślizgu w prostym modelu wyznacza tanα = μs. Aby dojść do opisanej granicy przewrócenia, tarcie musi być wystarczające. Przy poziomym pchaniu na wysokości H porównujemy natomiast F_{\text{pośl}}=\mu_smg i F_{\mathrm{przew}}=mg(b/2)/H. Mniejszy próg określa pierwsze naruszenie statycznej równowagi w przyjętym modelu.

Sprawdź się: klocek 10 kg o podstawie 0,40 m pchamy na wysokości 0,80 m, g = 10 m/s², μs = 0,40. Odpowiedź: poślizg wymaga przekroczenia 40 N, a granica przewrócenia wynosi 25 N. Najpierw osiągniemy drugą. Przy 25 N dostępne tarcie nadal wystarcza. Nie trzeba zgadywać na podstawie wyglądu przedmiotu; porównujemy oba mechanizmy przy tych samych warunkach.

Reakcja podłoża przesuwa się, zanim ciało się przewróci

W przykładzie z klockiem 10 kg pchanym na wysokości 0,80 m zapytajmy, gdzie działa wypadkowa reakcji normalnej jeszcze przed przewrotem. Odmierzmy jej przesunięcie e od środka podstawy w stronę pchania. Moment poziomej siły F równoważy moment reakcji N=mg:

Ne=FH,\qquad e=\frac{FH}{mg}.

Dla F = 10 N otrzymujemy e = 0,080 m. Dla 20 N jest to 0,160 m. Przy 25 N reakcja dochodzi do krawędzi oddalonej o 0,200 m. Wzór nie dopuszcza przesuwania reakcji poza podstawę: nacisk podłoża nie może pojawić się tam, gdzie nie ma kontaktu. To pokazuje, jak stan graniczny wynika z całego ciągu stanów równowagi.

Równocześnie tarcie musi równoważyć F. Przy 25 N pozostaje poniżej granicy 40 N, więc oba warunki są zgodne aż do przewrotu. Jeśli obniżymy punkt przyłożenia siły, reakcja przesuwa się wolniej przy tym samym wzroście F i wcześniej może skończyć się zapas tarcia. Nie potrzebujemy dodawać nowej „siły przewracającej”: obrót wynika z momentów już uwzględnionych oddziaływań.

Porównujemy dwie granice dla tego samego powoli zwiększanego obciążenia, zamiast dodawać je do siebie. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Zadania do tego tematu

• Środek masy dwóch odważników na lekkim pręcie
• Ciężki pakunek zmienia środek masy lekkiej deski
• Kąt graniczny przechylenia jednorodnego klocka
• Modelowy klocek: najpierw poślizg czy przewrócenie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny