Moment siły i równowaga belki: sama suma sił nie wystarcza

Potrzebne wiadomości: Siły, wektory, długość ramienia i sinus.

Dlaczego klamka jest daleko od zawiasów?

Pchnij drzwi blisko zawiasów, a potem z podobną siłą przy klamce. Za drugim razem łatwiej wywołać obrót. Nie zmieniła się jednostka siły ani masa drzwi, lecz jej ramię względem osi. Zwykły bilans sił opisuje zmianę ruchu środka masy. Aby określić zmianę ruchu obrotowego albo warunek braku obrotu, potrzebujemy jeszcze informacji o miejscu i kierunku działania każdej siły. Bryły nie można już bezkarnie zastąpić jednym punktem i przenieść tam wszystkich strzałek.

Ramię d jest odległością prostopadłą od osi do linii działania siły. Linia działania to prosta, wzdłuż której leży wektor siły, przedłużona w obie strony. Gdy pchasz wzdłuż drzwi w stronę zawiasów, ta prosta przechodzi przez oś i ramię jest zerowe, choć dłoń pozostaje daleko od zawiasów. Gdy pchasz prostopadle, ramię jest równe odległości od osi do dłoni. To wyjaśnia, dlaczego sama długość narzędzia nie zawsze występuje bezpośrednio we wzorze.

Liczy się odległość od linii działania

Wartość momentu względem wybranego punktu wynosi M=rF\sin\alpha=Fd, gdzie d jest prostopadłą odległością punktu od linii działania siły. Nie zawsze jest to cała długość narzędzia. Jednostkę momentu zapisujemy N·m; mimo zgodnego wymiaru nie nazywamy momentu energią.

Dla płaskiego układu sił równowaga sztywnego ciała wymaga zerowej sumy składowych sił oraz zerowej sumy momentów. Wybieramy znak, np. dodatni dla obrotu przeciwnego wskazówkom zegara. Moment siły przyłożonej w punkcie, względem którego liczymy, jest zerowy.

Przykład z belką

Jednorodna pozioma belka długości 3 m i ciężarze 60 N ma podpory na końcach. Dodatkowe 30 N działa w dół w odległości 1 m od lewej podpory. Moment względem lewej strony daje 3R_B-60\cdot1{,}5-30\cdot1=0, więc prawa podpora działa siłą 40 N. Z sumy pionowych sił lewa daje 50 N.

Oba wyniki są dodatnie, zatem zwykłe podpory mogą je zrealizować jako docisk. Ujemna reakcja oznaczałaby, że założona podpora musiałaby ciągnąć belkę, czego swobodny kontakt nie robi. Model sztywnej belki nie ocenia ugięcia, wytrzymałości ani bezpieczeństwa rzeczywistej konstrukcji; opisuje jedynie zadany bilans zewnętrznych sił.

Osobne położenia obu obciążeń są potrzebne do bilansu momentów. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Dwie równoważne drogi do momentu

Możesz wyznaczyć prostopadłą odległość d = r sinα i pomnożyć ją przez pełną siłę F. Możesz też wziąć składową siły prostopadłą do promienia, F⊥ = F sinα, i pomnożyć ją przez r. Obie drogi dają M = rF sinα. Składowa wzdłuż promienia nie obraca wokół wybranej osi. W płaskim zadaniu wystarczy przyjąć znak dodatni dla obrotu przeciwnego wskazówkom zegara, ujemny dla zgodnego. Znak wynika z tendencji do obrotu, nie z samego zwrotu „w górę” lub „w dół”.

Dla drzwi o r = 0,80 m i siły 30 N pod kątem 30° składowa obracająca ma 15 N, więc moment wynosi 12 N·m. Przy prostopadłym pchnięciu ta sama siła da 24 N·m. Moment ma wymiar N·m, podobnie jak praca, ale opisuje inny rodzaj wielkości. Nie zapisujemy, że drzwi „mają 12 J momentu”. Praca podczas obrotu wymaga jeszcze kąta obrotu i odpowiedniego całkowania momentu po tym kącie.

Przykład: reakcje podpór krok po kroku

Belka długości 4 m i ciężarze 80 N spoczywa na końcach. Dodatkowe 120 N działa 3 m od lewej podpory. Jednorodność belki umieszcza jej ciężar w środku,2 m od końca. Nie skupiamy całych 200 N w przypadkowym punkcie. Z pionowej równowagi mamy Rₐ+Rᵦ = 200 N: jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Dopiero równowaga momentów dostarcza drugiego warunku.

Licząc momenty względem lewej podpory, usuwamy jej reakcję z tego równania, bo jej ramię jest zerowe. Prawa reakcja obraca przeciwnie do wskazówek, ciężary zgodnie: 4Rᵦ−80·2−120·3 = 0. Stąd Rᵦ = 130 N i Rₐ = 70 N. Licząc względem prawej strony, powinniśmy uzyskać 70·4−80·2−120·1 = 0. To niezależna kontrola rozmieszczenia obciążeń; sprawdzenie samej sumy 200 N nie wykryłoby zamiany reakcji miejscami.

Para sił: dlaczego zero plus zero nie wystarczy?

Dwie przeciwne siły po 10 N na równoległych liniach odległych o 0,60 m mają zerową wypadkową, lecz moment pary 6 N·m. Można liczyć względem punktu na jednej linii: pierwsza siła ma zerowe ramię, druga 0,60 m. Można też wybrać punkt pomiędzy nimi: dwa momenty po 3 N·m mają ten sam zwrot i się dodają. Środek masy nie uzyskuje przyspieszenia od tej pary, ale bryła może się rozpędzać obrotowo.

Przy równowadze trzeba więc równocześnie wymagać sumy sił równej zero i sumy momentów równej zero. Moment całego układu o zerowej wypadkowej nie zależy od przesunięcia punktu odniesienia. Gdy wypadkowa nie jest zerowa, zmiana punktu zwykle zmienia sumę momentów. W zadaniach statycznych wygodny wybór osi służy uproszczeniu algebraicznemu, a nie zmianie przewidywanego zachowania belki.

Sprawdź model, nie tylko równanie

Zwykła podpora może naciskać belkę w górę, ale nie przyciągać jej w dół. Ujemna obliczona reakcja oznacza zatem utratę kontaktu, jeśli nie opisano zamocowania zdolnego przenosić siłę w drugą stronę. Równania są narzędziem sprawdzania założenia, nie gwarancją jego spełnienia. Sztywność w tym modelu oznacza pomijanie zmian geometrii; nie oznacza nieskończonej wytrzymałości materiału.

Sprawdź się: do jednorodnej belki podpartej na końcach dokładamy ciężar dokładnie w środku. Czy prawa reakcja będzie większa? Odpowiedź: nie. Symetria i równowaga momentów dają równe reakcje, każdą równą połowie całkowitego ciężaru. Jeżeli przeniesiemy dodatkowy ciężar w prawo bez zmiany jego wartości, suma reakcji nie zmieni się, ale prawa wzrośnie kosztem lewej.

Gdzie musi działać jedno zastępcze obciążenie?

Dla belki z ciężarem 80 N przy 2 m i siłą 120 N przy 3 m można zbudować krótszy opis. Zastępujemy oba obciążenia jedną siłą 200 N, ale nie wolno ustawić jej gdziekolwiek. Ma zachować zarówno sumę sił, jak i moment względem lewego końca:

200x_Q=80\cdot2+120\cdot3,\qquad x_Q=2{,}60\ \mathrm m.

Teraz podział na reakcje wynika z ramion tej jednej siły: prawa reakcja ma 200·2,60/4 = 130 N, lewa 70 N. Położenie 2,60 m jest bliższe dodatkowym 120 N niż ciężarowi 80 N. To odpowiednik średniej ważonej położeń, z siłami jako wagami.

Ten skrót ma ograniczenie. Para przeciwnych sił o zerowej sumie i niezerowym momencie nie daje się zastąpić pojedynczą siłą: taka siła musiałaby mieć wartość zero, a wtedy nie miałaby też momentu. Dlatego na początku rozdzielamy wypadkową siłę i moment, zamiast zakładać, że każdy układ ma jedną zastępczą strzałkę. Wybór punktu liczenia momentów może uprościć rachunek, ale nie zmienia tej różnicy.

Górna i dolna siła nie leżą na jednej prostej. To właśnie odległość tych prostych wyznacza moment pary. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Zadania do tego tematu

• Moment siły przyłożonej prostopadle do klucza
• Belka obciążona bliżej prawej podpory
• Drzwi pchane ukośnie zamiast prostopadle
• Para sił z zerową wypadkową i niezerowym momentem

Dalsza lektura

Materiał referencyjny