Środek masy dwóch odważników na lekkim pręcie

Rozwiązanie

Równość przeciwnych momentów masowych sprawdza, czy znaleziony punkt jest środkiem masy. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Ważymy położenia masami

Pręt jest lekki, więc do sumy mas wchodzą tylko 2 i 3 kg. Początek osi przy pierwszym odważniku nie nadaje mu zerowej masy; nadaje jedynie współrzędną x₁ = 0. Drugi leży przy x₂ = 4 m. Definicja środka masy daje iloraz sumy mᵢxᵢ i całkowitej masy.

Podstawienie z jednostkami

x_{CM}=\frac{2\cdot0+3\cdot4}{2+3}=\frac{12}{5}=2{,}4\ \mathrm m.

Licznik ma jednostkę kg·m, a mianownik kg, więc otrzymujemy metry. Dzielenie przez dwa, jako liczbę odważników, byłoby średnią nieważoną i ignorowałoby różnicę mas. Odległości środka od obu końców nie muszą być równe.

Wynik

Otrzymujemy x_{CM}=(2\cdot0+3\cdot4)/5=2{,}4 m. Punkt leży pomiędzy odważnikami i bliżej cięższego, co potwierdza sens wyniku. Średnia 2 m byłaby poprawna dla jednakowych mas, a nie dla podanego układu.

Kontrola momentów i zmiana początku osi

Ramiona względem środka wynoszą 2,4 m i 1,6 m. Iloczyny 2·2,4 i 3·1,6 są równe 4,8 kg·m, więc w jednorodnym polu także przeciwne momenty ciężarów się zrównoważą. Wynik leży między 0 i 4 m, bliżej cięższego odważnika. Gdyby zero osi przesunąć do środka pręta, współrzędne mas wyniosłyby −2 i +2 m, a środek masy +0,4 m. Po dodaniu 2 m wracamy do 2,4 m. Położenie fizyczne nie zmienia się przy zmianie opisu. Dwukrotne zwiększenie obu mas także nie zmieniłoby środka, bo podwoiłoby licznik i mianownik.

Jeszcze jeden krok

Zamieńmy miejscami ciężarki, zachowując ich odległość 4 m. Środek masy znajdzie się wtedy przy x = 1,6 m. Dwa wyniki sumują się do 4 m, jak powinny dla lustrzanego odbicia konfiguracji. W obu przypadkach środek leży bliżej ciężarka 3 kg; średnia arytmetyczna współrzędnych dałaby 2 m i pominęłaby informację o masach.

Powiązana teoria

Środek masy i przewracanie: gdzie musi wypaść linia ciężaru?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny