Kąt graniczny przechylenia jednorodnego klocka

Rozwiązanie

Przy tym kącie środek masy znajduje się pionowo nad dolną krawędzią; masa nie zmienia samej geometrii progu. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Na granicy pion przechodzi przez krawędź

Podłoże przechylamy powoli, więc rozpatrujemy kolejne stany bliskie równowagi. Brak wcześniejszego poślizgu został wyraźnie założony. W przekroju przez kierunek przechylenia środek masy leży nad środkiem podstawy. Do krawędzi jest zatem połowa szerokości 0,40 m, czyli 0,20 m.

Trójkąt geometryczny

Przy granicznym ustawieniu pion ciężaru przechodzi przez dolną krawędź. W odpowiednim trójkącie przyprostokątne to 0,20 m i 0,60 m:

\tan\alpha=\frac{b/2}{h}=\frac{0{,}20}{0{,}60}=\frac13.

Iloraz długości jest bezwymiarowy. Aby otrzymać kąt, stosujemy arctan, a nie traktujemy liczby 1/3 jako liczby stopni. Nie jest potrzebna masa, bo warunek dotyczy położenia linii ciężaru.

Wynik

Warunek geometryczny daje \tan\alpha=0{,}20/0{,}60=1/3. Stąd α≈18,43°. Użycie całej szerokości zamiast połowy podwoiłoby błędnie ramię stabilizujące. Wynik obowiązuje przy założonym braku poślizgu i powolnym przechylaniu.

Kontrola i warunek tarcia

Przy 18,43° tangens jest bliski 1/3. Użycie całej podstawy dałoby arctan (2/3)≈33,69°, zbyt duży próg. Aby dotrzeć do przewrócenia bez wcześniejszego poślizgu w prostym modelu tarcia, potrzebujemy μs co najmniej 1/3. Treść zapewnia wystarczające tarcie, więc nie szukamy jego dokładnej wartości. Podwojenie wysokości środka do 1,20 m przy tej samej podstawie zmniejszyłoby kąt do arctan (1/6)≈9,46°. Szersza podstawa działa przeciwnie. Te porównania wyjaśniają geometrię wyniku; nie zastępują analizy dynamicznej szybkiego potrącenia, którego nie opisano w zadaniu.

Powiązana teoria

Środek masy i przewracanie: gdzie musi wypaść linia ciężaru?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny