Ciężki pakunek zmienia środek masy lekkiej deski

Rozwiązanie

Jednorodna deska jest reprezentowana w swoim środku. Położenia na osi zachowują prawdziwe proporcje. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Deska nie jest punktem na końcu

Jednorodna deska długości 2 m ma środek masy w połowie, przy 1 m od lewego końca. Jej 4 kg możemy w tym rachunku reprezentować w tym punkcie. Pakunek 20 kg umieszczony przy 1,8 m jest drugim składnikiem. Całkowita masa to 24 kg, a nie 20 kg.

Średnia ważona dwóch składników

x_{CM}=\frac{4\cdot1+20\cdot1{,}8}{4+20}=\frac{40}{24}=\frac53\ \mathrm m.

Położenie pakunku nie jest automatycznie położeniem środka całego układu. Deska, choć lżejsza, przesuwa wspólny punkt ku swemu środkowi. Wynik powinien leżeć między 1 m a 1,8 m; jest to szybka kontrola dla dodatnich mas.

Wynik

Deskę zastępujemy w obliczeniu jej środkiem masy przy x = 1 m. Całość daje x_{CM}=(4\cdot1+20\cdot1{,}8)/24=40/24\approx1{,}67 m. Wynik jest blisko pakunku, ale nie dokładnie w jego położeniu: masa deski przesuwa go w lewo.

Sprawdzenie rozkładu i transfer

Od wspólnego środka do środka deski jest 2/3 m, a do pakunku 2/15 m. Momenty masowe wynoszą 4·2/3 = 8/3 oraz 20·2/15 = 8/3 kg·m, więc się równoważą. Jeśli przesuniemy pakunek o 0,12 m w prawo, środek przesunie się o 20·0,12/24 = 0,10 m, nie o całą drogę pakunku. Brak ruchu deski zmniejsza przesunięcie średniej. Gdyby masa deski była zaniedbywalna, wynik dążyłby do 1,8 m. Nie jest zaniedbywalna w podanych danych i dlatego zachowujemy jej wkład. Zaokrąglenie 1,67 m jest przybliżeniem dokładnego 5/3 m.

Jeszcze jeden krok

Jeśli punkt podparcia ustawimy pod wyznaczonym środkiem masy, momenty ciężkości względem niego się zrównoważą. Gdy pakunek przesunie się o 0,24 m, cały środek masy przesunie się o (20/24)·0,24 = 0,20 m. Nie przesuwa się o pełne 0,24 m, ponieważ część masy układu, czyli deska, pozostała w miejscu.

Powiązana teoria

Środek masy i przewracanie: gdzie musi wypaść linia ciężaru?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny