Modelowy klocek: najpierw poślizg czy przewrócenie?

Rozwiązanie

Porównujemy dwie granice dla tego samego powoli zwiększanego obciążenia, zamiast dodawać je do siebie. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Porównujemy dwa sposoby utraty równowagi

Ciężar wynosi mg = 100 N. Pozioma siła nie ma składowej pionowej, więc dopóki zachowany jest statyczny kontakt, całkowita reakcja normalna ma 100 N. Próg poślizgu wyznacza maksymalne tarcie μsN = 40 N. Osobno sprawdzamy momenty względem krawędzi, przez którą klocek miałby się przewrócić.

Próg obrotu

Ciężar działa na ramieniu b/2 = 0,20 m i stabilizuje klocek. Pozioma siła przyłożona na wysokości H = 0,80 m tworzy moment w przeciwną stronę. Na granicy:

F H=mg\frac b2,\qquad F=\frac{100\cdot0{,}20}{0{,}80}=25\ \mathrm N.

Nie dodajemy 25 N do 40 N. To dwie konkurencyjne wartości progowe dla tego samego stopniowo zwiększanego obciążenia.

Wynik

Granica poślizgu wynosi F_s=0{,}40\cdot100=40 N. Dla przewrócenia F\cdot0{,}80=100\cdot0{,}20, więc F = 25 N. W tym statycznym modelu wcześniej osiągamy próg przewrócenia. Przy 25 N wymagane tarcie nie przekracza jeszcze 40 N. To wynik dla idealnego zadania, nie ocena stabilności rzeczywistego wyposażenia.

Spójność pierwszego osiągniętego progu

Przy 25 N wymagane tarcie ma 25 N, mniej niż dopuszczalne 40 N. Brak poślizgu nadal jest możliwy, kiedy reakcja podłoża przesuwa się do krawędzi i znika zapas równowagi momentów. Dlatego pierwszy jest próg przewrócenia. Gdyby pchać na wysokości 0,40 m, próg obrotu wzrósłby do 50 N i wtedy wcześniej wystąpiłby poślizg przy 40 N. Zmiana miejsca przyłożenia siły może więc zmienić rodzaj ruchu bez zmiany masy lub tarcia. Na samej granicy model dopuszcza równowagę graniczną; przekroczenie jej usuwa możliwość poprzedniego stanu.

Jeszcze jeden krok

Przy jakiej wysokości przyłożenia oba zjawiska zaczęłyby się na tej samej granicy? Porównujemy mgb/(2h) = μmg, więc h = b/(2μ) = 0,50 m. Poniżej tej wysokości najpierw wystąpi poślizg, powyżej przewrócenie, przy pozostałych założeniach bez zmian. Masa znika z porównania, lecz nadal wpływa na obie konkretne wartości sił granicznych.

Dwa progi w jednym zestawieniu

Wyższe miejsce przyłożenia zmniejsza siłę potrzebną do osiągnięcia granicy przewrócenia; nie zmienia progu tarcia w opisanym modelu. Kliknij rysunek, aby odczytać go w pełnym rozmiarze.

Powiązana teoria

Środek masy i przewracanie: gdzie musi wypaść linia ciężaru?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny