Temperatura gwiazdy i prawo Wiena — niebieskie nie znaczy chłodne

Potrzebne wiadomości: Długość fali, kelwiny i odwrotna proporcjonalność.

Maksimum widma nie jest jedyną wysyłaną falą

Rozgrzany przedmiot wysyła promieniowanie o wielu długościach fali. W modelu ciała doskonale czarnego rozkład zależy od temperatury: wraz z jej wzrostem rośnie emisja, a maksimum przesuwa się ku krótszym falom. Maksimum nie jest granicą emisji ani informacją, że poza nim nie ma fotonów. To najwyższy punkt określonego wykresu.

Ciało czarne oznacza idealny pochłaniacz, którego cieplna emisja w równowadze ma ustalony rozkład. Nazwa nie mówi, że gorący obiekt ma wyglądać na czarny. W astronomii jest to użyteczny punkt wyjścia do rozumienia ciągłego widma, a nie zapewnienie, że rzeczywista atmosfera gwiazdy jest idealna.

Co odkładamy na osiach?

Rozważamy widmową moc na jednostkę długości fali. Wysokość wykresu mówi, ile promieniowania przypada na mały przedział długości fali; moc w tym przedziale odpowiada polu pod krzywą. Dla takiego przedstawienia prawo przesunięć Wiena ma postać:

\lambda_{\max}T=b,\qquad b\approx2{,}898\cdot10^{-3}\ \mathrm{m\,K}.

Temperaturę wyrażamy w kelwinach. Jeśli λ podamy w nanometrach, stała ma wartość 2,898·10⁶ nm·K. Zmiana jednostki nie zmienia prawa, lecz wymaga przeliczenia stałej. Dla T = 2900 K maksimum wypada około 999 nm, czyli 1,0 µm, w podczerwieni. Część widma nadal leży w obszarze widzialnym.

Przykład: podwojenie temperatury

Dla 4000 K mamy λₘₐₓ = 724,5 nm. Dla 8000 K otrzymujemy 362,25 nm. Dwukrotny wzrost temperatury zmniejsza długość maksimum dwukrotnie. Nie należy dodawać do długości fali jakiejś stałej liczby nanometrów: zależność jest odwrotna. Z drugiej strony widma z maksimami przy 450 i 900 nm odpowiadają temperaturom w stosunku 2:1, niezależnie od wartości b.

To nie jest pomiar temperatury wnętrza gwiazdy. Obserwujemy promieniowanie wydostające się z jej zewnętrznych warstw. Informacja o jądrze wymaga innych danych i modelu budowy, nawet jeśli sam rachunek Wiena jest prosty.

Dlaczego maksimum zmienia się przy zmianie osi?

Równe przedziały długości fali nie odpowiadają równym przedziałom częstotliwości, ponieważ ν = c/λ. Przy przejściu do mocy przypadającej na jednostkę częstotliwości trzeba przeliczyć również wysokość wykresu, a nie tylko jego oś poziomą. Dlatego maksimum funkcji na jednostkę częstotliwości nie musi odpowiadać c/λₘₐₓ z wykresu na jednostkę długości. Te dwa opisy nadal dają tę samą całkowitą moc po poprawnym całkowaniu.

Od widma zmierzonego do temperatury

Zdjęcie po ustawieniu balansu bieli i wzmocnieniu kanałów nie jest gotowym wykresem widmowym. Detektor ma własną czułość, atmosfera pochłania część fal, pył może zaczerwieniać światło, a gaz gwiazdy pozostawia linie. Najpierw potrzebna jest kalibracja i ocena modelu. Zielone położenie maksimum nie oznacza „gwiazdy emitującej tylko zieleń”: oko odbiera sumę szerokiego zakresu fal. Prawo Wiena daje temperaturę w przyjętym modelu widma, nie dowolną interpretację barwy na ekranie.

Od położenia maksimum do kontrolowanego oszacowania

Jeżeli maksimum odczytano jako 600 ± 20 nm, skrajne temperatury z prawa Wiena wynoszą około 4674 K dla 620 nm i 4997 K dla 580 nm. Wartość dla 600 nm to 4830 K. Przedział temperatur nie jest idealnie symetryczny, ponieważ zależność jest odwrotna. Dla małego względnego błędu można użyć przybliżenia |δT|/T ≈ |δλ|/λ, ale rachunek skrajnych wartości pokazuje, skąd ono się bierze.

To nadal nie obejmuje błędu samego modelu. Widmo z silnymi liniami, osłabieniem przez pył albo niedokładną korekcją czułości detektora może dać przesunięte maksimum. Dokładny odczyt wierzchołka złego modelu nie zamienia się automatycznie w dokładną temperaturę.

Porównaj dwa rodzaje informacji

Położenie maksimum mówi o skali temperatury, a całka po widmie — o całkowitym promieniowaniu. Po unormowaniu każdej krzywej do jej własnego maksimum zachowujemy pierwszą informację, lecz tracimy bezpośrednie porównanie drugiej. Dlatego na rysunkach do ćwiczeń zaznaczamy normalizację. Dwa jednakowo wysokie wierzchołki na takim wykresie nie oznaczają jednakowego strumienia ani mocy.

Możesz sprawdzić zrozumienie, odpowiadając bez liczb: czy ciało o dwa razy wyższej temperaturze ma maksimum przy dwa razy dłuższej fali? Nie. A czy z położenia maksimum ustalisz powierzchnię obiektu? Również nie — potrzebne są dodatkowe dane.

Zadania do tego tematu

• Maksimum przy 483 nanometrach
• Gdzie leży maksimum promieniowania ciała o temperaturze 300 kelwinów?
• Dwa maksima widma i stosunek temperatur
• Czy maksimum widma oznacza jedną barwę promieniowania?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny