Promień gwiazdy z mocy i temperatury — prawo Stefana–Boltzmanna

Potrzebne wiadomości: Pole kuli, potęgi, temperatura bezwzględna i całkowita moc promieniowania.

Dwa sposoby na większą moc

Duża powierzchnia może emitować więcej energii niż mała, nawet przy tej samej temperaturze. Wyższa temperatura również zwiększa moc przypadającą na każdy metr kwadratowy. Żeby oszacować całkowitą moc gwiazdy, potrzebujemy obu informacji. Sam kolor ani sama średnica nie wystarczają.

Od metra kwadratowego do całej gwiazdy

Całkowita moc emitowana przez jednostkę powierzchni ciała czarnego wynosi Fₛ = σT⁴. Stała σ ≈ 5,67·10⁻⁸ W/(m²·K⁴) sprawia, że wynik ma jednostkę W/m². Sferyczna gwiazda ma powierzchnię 4πR², więc:

L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{eff}}^4.

Temperatura efektywna Tₑff jest zdefiniowana przez tę relację dla rzeczywistej całkowitej mocy i promienia. Nie wymaga, aby każda linia jej widma pokrywała się z krzywą idealnego ciała czarnego. Nie jest też temperaturą jądra. Moc L sumuje wszystkie długości fali, a nie tylko jeden filtr aparatu.

Iloraz usuwa duże liczby i stałe

Dla dwóch sferycznych gwiazd ten sam wzór daje L₂/L₁ = (R₂/R₁)²(T₂/T₁)⁴. Gwiazda B o trzykrotnie większym promieniu i dwukrotnie niższej temperaturze ma 9/16 mocy A. Jej powierzchnia jest dziewięć razy większa, ale każdy metr kwadratowy emituje szesnaście razy mniej. To dobry przykład, dlaczego „większa” nie zawsze znaczy „o większej mocy”.

Kontrast: jednakowa moc i różne rozmiary

Jeżeli L₂ = L₁, z ilorazu wynika R₂/R₁ = (T₁/T₂)². Dla temperatur 6000 K i 3000 K chłodniejsza gwiazda musi mieć czterokrotnie większy promień i szesnastokrotnie większą powierzchnię, żeby emitować tyle samo. Wynik kontrolujemy: 4²·(1/2)⁴ = 1. Przy jednakowej temperaturze byłoby inaczej — dziewięciokrotnie większa moc wymagałaby tylko trzykrotnie większego promienia.

Oszacowanie promienia z mocy i temperatury

Niech gwiazda ma L = 16L₀ i T = 2T₀ względem obiektu odniesienia. Po przekształceniu:

\frac{R}{R_0}=\frac{\sqrt{L/L_0}}{(T/T_0)^2}=\frac4{4}=1.

Jest równie duża mimo szesnastokrotnie większej mocy. W postaci wymiarowej R = √[L/(4πσT⁴)]; pod pierwiastkiem pozostają metry kwadratowe. Odległość potrzebna do wyznaczenia L ze strumienia oraz ocena temperatury wpływają na niepewność R. Dla ustalonego L mała względna zmiana T powoduje około dwukrotnie większą przeciwną zmianę R.

Emisja a wymiana netto

Ciało o temperaturze 300 K nadal emituje, nawet gdy otoczenie także ma 300 K. Zerowa może być wymiana netto, bo ciało jednocześnie pochłania promieniowanie otoczenia. Dla idealnego obiektu o stałej powierzchni w dużym czarnym otoczeniu moc netto wynosi σS(T⁴ − Tₒₜ⁴). Nie wolno zastępować jej przez σS(T − Tₒₜ)⁴. W rachunkach gwiazdowych L opisuje emisję, a temperatury zawsze są bezwzględne. Diagram H–R pomaga porównywać L i T, ale nie jest uniwersalną pojedynczą drogą ewolucji każdego obiektu.

Cały łańcuch: od teleskopu do promienia

Z połączenia F = L/(4πd²) i L = 4πR²σT⁴ otrzymujemy F = σT⁴(R/d)². Zatem R = d√[F/(σT⁴)]. To wygodna postać, gdy znamy odległość, całkowity strumień i temperaturę efektywną. Iloraz F/(σT⁴) jest bezwymiarowy, a czynnik d nadaje promieniowi jednostkę długości.

Przy F = 5,67·10⁻⁸ W/m², T = 1000 K i d = 1,0·10¹⁶ m mamy σT⁴ = 5,67·10⁴ W/m². Stosunek strumieni wynosi 10⁻¹², jego pierwiastek 10⁻⁶, więc R = 1,0·10¹⁰ m. Jest to przykład modelowy do kontroli rachunku, a nie identyfikacja konkretnej gwiazdy.

Która dana najmocniej zmienia promień?

Zależność R ∝ √L/T² pokazuje, że czterokrotnie większe L zwiększa R dwukrotnie, natomiast dwukrotnie większe T zmniejsza R czterokrotnie. Dla małych zmian δR/R ≈ ½δL/L − 2δT/T. Niepewności pomiarowe trzeba rozliczać z uwzględnieniem ich zależności; na przykład L obliczone z d i F nie jest niezależną nową obserwacją.

Przed użyciem wzoru sprawdź, czy F i L obejmują całe widmo. Wstawienie strumienia tylko z jednego filtra do relacji bolometrycznej bez korekty pasmowej da pozornie dokładny, ale niewłaściwy promień.

Zadania do tego tematu

• Dwa razy większy promień i półtora raza wyższa temperatura
• Ta sama moc, lecz dwukrotnie większa temperatura efektywna
• Promień względny z mocy 81 razy większej
• Czwarta potęga kelwinów, nie stopni Celsjusza

Dalsza lektura

Materiał referencyjny