Dwa maksima widma i stosunek temperatur

Rozwiązanie

Najpierw porównanie bez żadnych stałych

Oba obiekty są ciałami czarnymi, a oba widma opisano na jednostkę długości fali. Stosujemy więc to samo b. Oznaczmy temperatury indeksami odpowiadającymi długościom maksimum:

T_{400}=\frac b{400\,\mathrm{nm}},\qquad T_{1000}=\frac b{1000\,\mathrm{nm}}.

Dzieląc pierwszy wzór przez drugi, mnożymy przez odwrotność mianownika. Stała b znika, a długości pojawiają się w odwróconej kolejności:

\frac{T_{400}}{T_{1000}}=\frac{b/(400\,\mathrm{nm})}{b/(1000\,\mathrm{nm})}=\frac{1000}{400}=2{,}5.

Obiekt z maksimum przy 400 nm jest 2,5 razy gorętszy. Chodzi o iloraz temperatur bezwzględnych. Nanometry można zostawić, ponieważ skracają się w ilorazie; przeliczanie obu długości na metry dałoby ten sam wynik.

Dlaczego wykresy mają jednakową wysokość?

Na rysunku każde widmo podzielono przez jego własną wartość maksymalną. Dzięki temu porównujemy położenia wierzchołków. Nie wolno z równych wysokości wywnioskować jednakowej emisji na metr kwadratowy ani jednakowych całkowitych mocy.

Jeżeli dodatkowo użyjemy b = 2,898·10⁶ nm·K, otrzymamy 7245 K i 2898 K. Ich iloraz rzeczywiście wynosi 2,5. To kontrola, a nie konieczny etap rozwiązania.

Rozpoznaj odwrócony ułamek

Wynik 400/1000 = 0,4 oznaczałby, że obiekt o krótszej fali maksimum jest chłodniejszy. Byłoby to sprzeczne z prawem Wiena. Poprawne 0,4 można otrzymać dla odwrotnego pytania: T₁₀₀₀/T₄₀₀.

Sam wynik nie porównuje rozmiarów obiektów. Mniejszy, gorętszy obiekt może emitować mniej całkowitej mocy niż duży, chłodniejszy. Do takiego porównania potrzebna jest również powierzchnia. Spróbuj sprawdzić, co stałoby się ze stosunkiem temperatur, gdyby oba maksima przesunęły się na dwukrotnie dłuższe fale.

Powiązana teoria

Temperatura gwiazdy i prawo Wiena — niebieskie nie znaczy chłodne

Dalsza lektura

Materiał referencyjny