Rozmiar kątowy: dlaczego mały obiekt może zasłonić duży?

Potrzebne wiadomości: Podobieństwo trójkątów, stopnie i radiany.

Na niebie porównujemy kierunki

Moneta może zasłonić odległy budynek. Nie musi być od niego większa: jej brzegi widzimy pod dostatecznie odległymi kierunkami. Kąt między kierunkami na przeciwległe brzegi nazywamy rozmiarem kątowym. Jest wielkością mierzoną na obrazie nieba, a nie bezpośrednio średnicą obiektu w kilometrach.

Dla płaskiego odcinka o długości D, prostopadłego do linii widzenia, poprowadźmy od obserwatora linię do jego środka oddalonego o d. Dzieli ona figurę na dwa trójkąty prostokątne. W każdym bok naprzeciw kąta θ/2 ma długość D/2, więc:

\tan\frac\theta2=\frac{D}{2d},\qquad \theta=2\arctan\frac{D}{2d}.

Mały kąt upraszcza geometrię

Dla małych kątów tangens kąta w radianach jest bliski samemu kątowi. Otrzymujemy θ ≈ D/d. Obie długości muszą być wyrażone w tej samej jednostce; ich iloraz jest bezwymiarowy i daje wartość kąta w radianach. Podstawiamy średnicę, nie promień. Dla sfery dokładna geometria widocznego brzegu jest inna niż dla płaskiego odcinka, ale przy D znacznie mniejszym od d ta sama granica działa bardzo dobrze.

Obiekt o średnicy 600 km z odległości 120 000 km ma θ ≈ 0,005 rad, czyli około 0,286°. Nie należy czytać wyniku 0,005 jako stopni. Radian to około 57,3°, a około 206 265 sekund kątowych. Jeden stopień dzieli się na 60 minut kątowych, każda z nich na 60 sekund kątowych. Te minuty i sekundy opisują kierunek, nie czas obserwacji.

Ten sam kąt, różne odległości

Moneta 2 cm w odległości 50 cm i krążek 10 cm w odległości 250 cm mają jednakowe D/d = 0,04. Dla tak samo ustawionych płaskich przedmiotów podobieństwo trójkątów gwarantuje dokładnie ten sam kąt. Sam pomiar kąta nie rozstrzyga zatem ani rozmiaru, ani odległości: potrzebna jest jeszcze jedna niezależna informacja.

Kiedy przybliżenie przestaje wystarczać?

Płaski obiekt o szerokości 1 m ustawmy z jego środkiem 1 m od obserwatora. Przybliżenie dałoby 1 rad, czyli 57,3°. Pełny wzór daje 2 arctan(1/2) ≈ 53,13°. To już różnica ponad czterech stopni. Dla szerokości 1 cm z odległości 1 m pełny wynik wynosi około 0,57295°, praktycznie tyle samo co 0,01 rad ≈ 0,57296°. Warunek małego kąta należy sprawdzić, zamiast traktować D/d jako wzór dokładny dla każdej odległości.

Średnica obrazu a jego pole

Przy tej samej ogniskowej liniowy rozmiar małego obrazu jest proporcjonalny do θ. Trzykrotnie większa odległość zmniejsza więc średnicę obrazu trzykrotnie, a jego pole dziewięciokrotnie. To rozróżnienie liniowego wymiaru i pola będzie ważne także przy ocenie jasności i rozdzielczości. Rysunek geometryczny nie jest instrukcją kierowania przyrządów optycznych na Słońce.

Warsztat: zmierzony kąt i znana odległość

Załóżmy, że obiekt ma średnicę kątową 30 sekund kątowych, a jego odległość wynosi 400 000 km. Jak duży jest? Najpierw zamieniamy kąt na radiany, ponieważ wzór D ≈ dθ nie używa stopni:

\theta\approx\frac{30}{206\,265}\ \mathrm{rad}\approx1{,}4544\cdot10^{-4}\ \mathrm{rad}.

Mnożenie przez odległość daje D ≈ 400 000 km × 1,4544·10⁻⁴ ≈ 58,2 km. Po podzieleniu 58,2 km przez 400 000 km wracamy do kąta około 30″. Tak sprawdzamy nie tylko działania, ale także prawidłowe użycie jednostki kąta.

Ten rachunek można odwrócić jeszcze inaczej: znając rzeczywisty rozmiar obiektu i mierząc kąt, szukamy odległości d ≈ D/θ. Nie wolno jednak z jednego kąta wyznaczyć jednocześnie obu nieznanych D i d. To jedno równanie z dwiema niewiadomymi; wiele par długości daje ten sam obraz.

Własne sprawdzenie: co zmieni przybliżenie obrazu?

Fotograf ustawił dwa razy większą ogniskową bez zmiany położenia obiektu. Co stanie się z rozmiarem kątowym na niebie, a co ze średnicą obrazu w modelu b ≈ fθ?

W astronomii opis kąta i opis fizycznego rozmiaru są zatem osobnymi etapami. Ich pomylenie prowadzi zarówno do błędów w obliczeniach, jak i do błędnej interpretacji fotografii.

Zadania do tego tematu

• Średnica kątowa księżyca w umownym układzie
• Moneta i papierowy krążek o tym samym rozmiarze pozornym
• Dwanaście minut kątowych w stopniach i sekundach
• Jak maleje średnica i pole obrazu oddalającego się obiektu?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny