Rozmiar kątowy: dlaczego mały obiekt może zasłonić duży?

Potrzebne wiadomości: Podobieństwo trójkątów, stopnie i radiany.

Średnica podzielona przez odległość

Dla płaskiego odcinka o długości D, prostopadłego do linii widzenia, z jego środkiem w odległości d, mamy \theta=2\arctan(D/(2d)). Gdy D jest znacznie mniejsze od d, wystarcza \theta\textrm{ [rad]}\approx D/d. Dla sfery dokładna geometria brzegu jest nieco inna, ale granica małego kąta pozostaje taka sama. We wzorze przybliżonym podstawiamy średnicę, nie promień.

Radian odpowiada około 57,3°. Jeden stopień ma 60 minut kątowych, a minuta 60 sekund kątowych. Sekunda kątowa nie jest jednostką czasu. Wygodny przelicznik to około 206 265 sekund kątowych na radian.

Przykład i kontrola

Obiekt o średnicy 600 km oglądany z odległości 120 000 km ma średnicę kątową około 0,005 rad, czyli 0,286°. Po dwukrotnym zwiększeniu odległości jego średnica kątowa maleje dwukrotnie, a nie czterokrotnie. Czterokrotnie zmniejsza się w tym przybliżeniu pole jego obrazu.

Jednakowe średnice kątowe nie oznaczają jednakowych odległości ani rozmiarów. Dwa obiekty o stosunkach D/d równych sobie mogą wyglądać podobnie mimo ogromnej różnicy wymiarów. Przy dużych kątach korzystamy z pełnej geometrii, zamiast bezkrytycznie używać D/d. To rozumowanie geometryczne nie jest instrukcją patrzenia na Słońce przez przyrządy optyczne.

Zadania do tego tematu

• Średnica kątowa księżyca w umownym układzie
• Moneta i papierowy krążek o tym samym rozmiarze pozornym
• Dwanaście minut kątowych w stopniach i sekundach
• Jak maleje średnica i pole obrazu oddalającego się obiektu?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny