Średnica kątowa księżyca w umownym układzie

Rozwiązanie

Rysunek mówi, którą długość wstawiamy

Szukamy kąta między kierunkami na dwa przeciwległe brzegi księżyca. Jest to średnica kątowa, więc w liczniku występuje cała średnica D = 2400 km. Odległość d = 300 000 km jest znacznie większa od rozmiaru obiektu. Dzięki temu możemy użyć podanego przybliżenia małego kąta.

1. Kąt w radianach

W tym przybliżeniu średnica kątowa jest ilorazem średnicy liniowej i odległości:

\theta\approx\frac D d=\frac{2400\ \mathrm{km}}{300\,000\ \mathrm{km}}=0{,}008\ \mathrm{rad}.

Kilometry skracają się. Iloraz długości określa wartość kąta w radianach; nie można po prostu dopisać do liczby 0,008 symbolu stopnia. Użycie promienia 1200 km dałoby połowę szukanego kąta.

2. Zamieniamy radiany na stopnie

Korzystamy dokładnie z przelicznika wskazanego w treści:

\theta\approx0{,}008\ \mathrm{rad}\cdot57{,}3\ \frac{^\circ}{\mathrm{rad}}=0{,}4584^\circ\approx0{,}458^\circ.

Średnica kątowa wynosi około 0,458°, czyli nieco mniej niż pół stopnia. Więcej cyfr nie zwiększyłoby dokładności danych ani zastosowanego przybliżenia.

3. Sprawdzamy, czy mały kąt jest rzeczywiście mały

Otrzymane 0,008 rad jest dużo mniejsze od jednego radiana. Dla płaskiego odcinka prostopadłego do linii widzenia pełny wzór ma postać 2 arctan(D/2d). Dla sfery, gdy d mierzymy do środka, widoczny brzeg wyznacza wzór 2 arcsin(D/2d). Oba dają tu około 0,008 rad. Różnice są znacznie mniejsze niż dokładność podanego przelicznika stopni.

Co można, a czego nie można odczytać z samego kąta?

Ten sam kąt miałby w małokątowym modelu obiekt dwa razy większy położony dwa razy dalej. Sam obraz nie rozstrzyga zatem niezależnie o rozmiarze i odległości. W tym zadaniu znamy obie długości, dlatego kąt możemy obliczyć. Przy astronomicznym pomiarze kąta do wyznaczenia nieznanej średnicy potrzebna byłaby jeszcze odległość.

Powiązana teoria

Rozmiar kątowy: dlaczego mały obiekt może zasłonić duży?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny