Moneta i papierowy krążek o tym samym rozmiarze pozornym

Rozwiązanie

Większy przedmiot nie musi wyglądać na większy

Chcemy, aby górne i dolne brzegi obu krążków leżały na tych samych kierunkach wychodzących z oka. Moneta i papierowy krążek pozostają prostopadłe do linii widzenia, a ich środki na jednej osi. Narysowanie dwóch trójkątów usuwa pozorną zagadkę: większy krążek musi znaleźć się odpowiednio dalej.

1. Wyznaczamy skalę podobieństwa

Średnica papierowego krążka jest pięć razy większa od średnicy monety:

k=\frac{D_2}{D_1}=\frac{10\ \mathrm{cm}}{2\ \mathrm{cm}}=5.

Gdy kąt przy oku i kąty proste przy środkach są takie same, trójkąty są podobne. Wszystkie odpowiadające sobie długości rosną w tej samej proporcji: nie tylko średnica, ale również odległość od oka.

2. Obliczamy odległość krążka

\frac{D_2}{d_2}=\frac{D_1}{d_1},\qquad d_2=\frac{D_2}{D_1}d_1=5\cdot50\ \mathrm{cm}=250\ \mathrm{cm}=2{,}5\ \mathrm{m}.

Papierowy krążek należy ustawić 2,5 m od oka. Jest to odległość od obserwatora, a nie od monety. Między monetą a krążkiem pozostaną 250 cm − 50 cm = 200 cm.

3. Kontrola na dwóch ilorazach

Dla monety mamy 2/50 = 0,04. Dla krążka 10/250 = 0,04. Równość oznacza te same kąty. Gdybyśmy pomylili odległość od oka z odległością od monety i ustawili krążek 250 cm za monetą, znalazłby się 300 cm od oka. Iloraz 10/300 byłby mniejszy, więc krążek wyglądałby na mniejszy.

Czy użyliśmy przybliżenia?

Nie. Dla płaskich, współosiowych przedmiotów w tej orientacji podobieństwo trójkątów daje warunek dokładny. Można zapisać go również jako równość tangensów połówek kątów. Przechylenie krążka zmieniłoby jego widoczny wymiar; samo porównanie średnic bez informacji o ustawieniu nie wystarczałoby. Do sprawdzenia wystarczą papierowe krążki i taśma miernicza — nie obserwacja Słońca.

Powiązana teoria

Rozmiar kątowy: dlaczego mały obiekt może zasłonić duży?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny