Jak maleje średnica i pole obrazu oddalającego się obiektu?

Rozwiązanie

Rozdzielamy długość i pole

Odległość rośnie trzykrotnie, ale rzeczywisty rozmiar obiektu pozostaje stały. Ogniskowa też się nie zmienia. W przybliżeniu podanym w treści rozmiar kątowy jest proporcjonalny do D/d, a liniowy rozmiar obrazu do tego kąta. Najpierw ustalimy skalę długości, dopiero później skalę pola.

1. Średnica obrazu

Oznaczmy średnicę obrazu przez b, ogniskową przez f, a odległości przed i po przesunięciu przez d₁ i d₂. W użytym modelu b ≈ fD/d. W ilorazie wyników stałe f i D się skracają:

\frac{b_2}{b_1}=\frac{fD/d_2}{fD/d_1}=\frac{d_1}{d_2}=\frac{d_1}{3d_1}=\frac13.

Średnica obrazu staje się trzykrotnie mniejsza. Na przykład obraz o średnicy 9 mm będzie miał średnicę 3 mm. Ta proporcja nie jest prawem dla jasności — dotyczy wymiaru liniowego.

2. Pole obrazu

Obraz zachowuje kształt. Każda jego długość maleje w skali 1/3: szerokość i wysokość. Dlatego pole maleje w skali (1/3) × (1/3). Dla krążka można pokazać to bezpośrednio ze wzoru na pole:

\frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi b_2^2/4}{\pi b_1^2/4}=\left(\frac{b_2}{b_1}\right)^2=\frac19.

Pole obrazu staje się dziewięciokrotnie mniejsze. Pozostaje jedna dziewiąta początkowego pola, czyli około 11,1%; ubywa osiem dziewiątych. „Maleje dziewięciokrotnie” nie znaczy „maleje o dziewięć procent”.

3. Sprawdzenie na rysunku

Krążek o średnicy 3 mm da się wpisać w kwadrat trzy razy węższy i trzy razy niższy niż dla średnicy 9 mm. Na rysunku siatka pokazuje właśnie zmianę dwóch wymiarów. Samo trzykrotne skrócenie średnicy nie uprawnia do trzykrotnego zmniejszenia pola.

Kiedy ten wniosek przestaje wystarczać?

Zakładamy stałe odwzorowanie kąta na rozmiar obrazu i brak zmiany kadrowania czy zoomu. Treść narzuca taki małokątowy model; dla bliskich obiektów rzeczywista optyka ogniskowania może wymagać pełnego równania soczewki. Zmiana cyfrowego powiększenia gotowego zdjęcia również nie jest zmianą odległości obiektu.

Powiązana teoria

Rozmiar kątowy: dlaczego mały obiekt może zasłonić duży?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny