Paralaksa roczna i parsek — od małego kąta do wielkiej odległości

Potrzebne wiadomości: Małe kąty, odwrotna proporcjonalność i jednostki kątowe.

Zmiana punktu obserwacji ujawnia odległość

Trzymaj palec przed twarzą i spójrz na niego kolejno jednym i drugim okiem. Palec pozornie przesuwa się względem dalszego tła. Gdy odsuniesz go dalej, przesunięcie się zmniejsza. Przedmiot nie musiał się poruszyć: zmienił się punkt, z którego wyznaczasz kierunek. To istota paralaksy.

W astronomii rolę dwóch punktów obserwacji mogą pełnić różne położenia Ziemi na orbicie. Bazą między skrajnymi pozycjami jest około 2 AU. Jednak kąt paralaksy rocznej p z definicji odpowiada połowie tej bazy, czyli 1 AU. W odpowiednim kierunku i po usunięciu innych ruchów maksymalne przesunięcie na tle może wynosić 2p.

Od trójkąta do parseka

W prostym trójkącie z bazą 1 AU i dużą odległością d mamy tan p = 1 AU/d. Przy małym kącie tan p ≈ p, gdy p wyrażono w radianach. Jedna sekunda kątowa to 1/3600 stopnia, czyli około 1/206 265 radiana. Daje to związek między jednostką astronomiczną, parsekiem i sekundą kątową.

W standardowym zapisie wartości liczbowych używamy:

d\,[\mathrm{pc}]=\frac1{p\,[\mathrm{arcsec}]}.

Nie wolno wstawiać do tego zapisu kąta w stopniach ani w milisekundach kątowych bez przeliczenia. Dla p = 40 mas mamy p = 0,040 sekundy kątowej i d = 25 pc. Większy kąt oznacza mniejszą odległość. Parsek to około 3,26 roku świetlnego, więc 25 pc odpowiada około 81,5 roku świetlnego.

Pełny ruch obrazu czy jego połowa?

Jeśli zmierzone maksymalne przesunięcie między przeciwległymi położeniami orbity wynosi 0,20 sekundy kątowej, kąt p jest równy 0,10 sekundy, a odległość 10 pc. Użycie pełnych 0,20 w miejscu p dałoby 5 pc, dwukrotnie za mało. Dowolne dwie obserwacje oddalone o pół roku nie muszą jednak odpowiadać skrajnym kierunkom: liczy się geometria obiektu i orbity.

Niepewność przechodzi przez odwrotność

Dla małej standardowej niepewności u(p) lokalne przybliżenie funkcji 1/p prowadzi do u(d) ≈ u(p)/p², czyli u(d)/d ≈ u(p)/p. Przy p = 0,100 ± 0,005 sekundy kątowej otrzymujemy d = 10 pc i przybliżoną standardową niepewność 0,5 pc. Nie jest to gwarantowany przedział wszystkich możliwych odległości.

Jeśli natomiast znamy tylko dodatnie granice 0,08 ≤ p ≤ 0,12 sekundy kątowej, odwracamy je i zamieniamy kolejność: 8,33 pc ≤ d ≤ 12,5 pc. Odchylenia od 10 pc wynoszą około −1,67 i +2,5 pc. Niesymetria nie jest błędem zaokrąglenia; wynika z nieliniowej funkcji odwrotnej.

Pomiar nie jest samą geometrią rysunku

Gwiazda może mieć ruch własny, układ podwójny i inne zmiany położenia. Trzeba je oddzielić od okresowej paralaksy, wykorzystując serię obserwacji. Przy dużym szumie proste odwracanie pojedynczej estymaty bywa mylące; ujemny oszacowany kąt nie oznacza fizycznie ujemnej odległości. Rysunek wyjaśnia zasadę, a model pomiaru i jego niepewności określają, jak mocny wniosek da się z danych wyprowadzić.

Warsztat: z obserwacji wybieramy składnik roczny

Na serii zdjęć położenie gwiazdy może powoli przesuwać się w jednym kierunku, a jednocześnie wykonywać mały roczny ruch. Pierwszy składnik wiąże się z ruchem własnym, drugi z paralaksą. Porównanie tylko dwóch zdjęć może pomieszać te efekty. Dlatego roczną amplitudę wyznacza się z dopasowania do wielu pomiarów i znanych położeń obserwatora.

Dla ćwiczenia przyjmijmy już poprawnie wyznaczoną p = 0,20 arcsec. Odległość to 5 pc. Druga gwiazda ma p = 0,05 arcsec, czyli cztery razy mniejszą paralaksę. Leży cztery razy dalej: 20 pc. To odwrotna proporcjonalność, nie kwadratowa. Iloczyny wartości liczbowych 5 × 0,20 i 20 × 0,05 są równe jeden.

Dlaczego stały błąd kąta jest groźniejszy daleko?

Wyobraźmy sobie tę samą standardową niepewność 1 mas. Przy p = 100 mas stanowi ona 1% wyniku, natomiast przy p = 5 mas już 20%. W pierwszym przypadku mała względna niepewność dobrze współgra z liniowym przybliżeniem. W drugim trzeba znacznie ostrożniej przejść od pomiaru do odległości. Sama liczba cyfr po przecinku w kalkulatorze nie poprawia pomiaru.

Ujemna estymata paralaksy uzyskana z zaszumionych danych nie opisuje gwiazdy w ujemnej odległości. Oznacza, że estymator wraz z szumem nie rozstrzygnął dodatniej amplitudy wystarczająco mocno. Nie zamieniamy bez uzasadnienia takiej wartości na dodatnią ani nie wyznaczamy z niej fizycznej odległości przez ślepe odwrócenie.

Własne sprawdzenie: dwa razy mniejsza paralaksa

Gwiazda A ma p = 80 mas, gwiazda B p = 40 mas. Która leży dalej i ile razy? Spróbuj odpowiedzieć przed wykonaniem dzielenia.

Zasadę zmiany kierunku przy zmianie miejsca obserwacji przedstawia ESA: paralaksa. Ograniczenia odwracania słabo zmierzonej paralaksy omawia praca autorów katalogu odległości Gaia: Bailer-Jones i współautorzy, 2018.

Zadania do tego tematu

• Paralaksa 25 milisekund kątowych
• Dwa skrajne położenia oddalone o 0,16 sekundy kątowej
• Granice paralaksy dają niesymetryczne granice odległości
• Przybliżona niepewność odległości z dobrze zmierzonej paralaksy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny