Dwa razy większy promień i półtora raza wyższa temperatura

Rozwiązanie

Jeden czynnik opisuje powierzchnię, drugi emisję z metra

Całkowita moc sferycznej gwiazdy wynosi L = 4πR²σT_eff⁴. Dwukrotny promień zwiększa powierzchnię czterokrotnie. Półtora raza wyższa temperatura zwiększa moc emitowaną z każdego metra kwadratowego o czynnik 1,5⁴. Te skutki mnożymy.

\frac{L_B}{L_A}=\frac{4\pi R_B^2\sigma T_B^4}{4\pi R_A^2\sigma T_A^4}=\left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2\left(\frac{T_B}{T_A}\right)^4.

Wspólne stałe 4π i σ skracają się. Nie potrzebujemy żadnego promienia w metrach ani temperatury w kelwinach, bo podano ich poprawne bezwymiarowe stosunki.

Obliczamy obie potęgi

2^2=4,\qquad1{,}5^4=(1{,}5^2)^2=2{,}25^2=5{,}0625.

\frac{L_B}{L_A}=4\cdot5{,}0625=20{,}25.

Gwiazda B emituje 20,25 razy większą moc. Rysunek pokazuje osobno czterokrotną powierzchnię i większą emisję z jednostki powierzchni. Dopiero oba czynniki razem dają wynik.

Kontrola przez dwa prostsze przypadki

Gdyby temperatury były równe, sam dwukrotny promień dałby czynnik 4. Gdyby promienie były równe, sama zmiana temperatury dałaby 5,0625. Przy jednoczesnym zwiększeniu obu wielkości wynik musi być większy od każdego z tych czynników.

Nie sumujemy 4 + 5,0625, ponieważ nie rozdzielamy mocy na dwie niezależne porcje. Większa powierzchnia w całości promieniuje ze zmienioną mocą na metr kwadratowy. Tak samo pole prostokąta mnoży długość i szerokość, zamiast dodawać ich zmiany.

Wynik dotyczy całkowitej mocy, a nie strumienia przy Ziemi. B mogłaby dawać taki sam odebrany strumień jak A, gdyby była 4,5 raza dalej, bo 4,5² = 20,25. To dodatkowe sprawdzenie łączy prawo emisji z prawem odwrotnych kwadratów; odległości nie były jednak potrzebne do odpowiedzi w zadaniu.

Powiązana teoria

Promień gwiazdy z mocy i temperatury — prawo Stefana–Boltzmanna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny