Ta sama moc, lecz dwukrotnie większa temperatura efektywna

Rozwiązanie

Większa temperatura musi być skompensowana mniejszą powierzchnią

W jednym metrze kwadratowym powierzchni B podwojenie temperatury zwiększa emisję szesnastokrotnie. Całkowita moc ma pozostać taka sama, więc powierzchni B musi być szesnaście razy mniej. Dopiero po ustaleniu powierzchni przejdziemy do promienia.

Obie gwiazdy spełniają L = 4πR²σT⁴. Z danych L_B/L_A = 1 i T_B/T_A = 2:

1=\left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2 2^4=16\left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2.

Dzielimy przez 16 i wyciągamy dodatni pierwiastek, ponieważ promień nie jest ujemny:

\left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2=\frac1{16},\qquad\frac{R_B}{R_A}=\frac14.

Gorętsza gwiazda B ma czterokrotnie mniejszy promień. Na rysunku promienie kół rzeczywiście są w stosunku 1:4. Pola ich przekrojów mają stosunek 1:16, tak jak powierzchnie podobnych kul. Koła są porównaniem geometrycznym, nie zdjęciem gwiazd.

Dlaczego odpowiedzi 1/2 i 1/16 nie pasują?

Dla R_B/R_A = 1/2 powierzchnia zmalałaby tylko czterokrotnie; moc wzrosłaby cztery razy. Dla stosunku 1/16 powierzchnia zmalałaby aż 256 razy, a moc byłaby szesnaście razy mniejsza. Tylko 1/4 daje (1/4)²·2⁴ = 1.

Uogólnienie, które warto samodzielnie odtworzyć

Przy stałym L mamy R²T⁴ = const, zatem R jest proporcjonalny do 1/T². Trzykrotnie większa temperatura wymagałaby dziewięciokrotnie mniejszego promienia. Nie jest to zależność R ∝ 1/T.

Porównujemy temperatury efektywne, które wiążą emisję całkowitą z powierzchnią. Nie zakładamy jednakowych temperatur wnętrz ani identycznego składu gwiazd. Same dane o mocy i temperaturze nie wyznaczają ich mas.

Powiązana teoria

Promień gwiazdy z mocy i temperatury — prawo Stefana–Boltzmanna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny