Promień względny z mocy 81 razy większej

Rozwiązanie

Jednakowa temperatura oznacza jednakową emisję z metra kwadratowego

W prawie L = 4πR²σT_eff⁴ czynnik σT_eff⁴ jest taki sam dla obu gwiazd. Większa całkowita moc musi więc wynikać z większej powierzchni, a nie z większej emisji każdego jej fragmentu.

Po podzieleniu dwóch równań dostajemy:

\frac L{L_0}=\left(\frac R{R_0}\right)^2\left(\frac T{T_0}\right)^4=\left(\frac R{R_0}\right)^2,

ponieważ T/T₀ = 1. Podany stosunek mocy to 81, zatem:

81=\left(\frac R{R_0}\right)^2\quad\Longrightarrow\quad\frac R{R_0}=\sqrt{81}=9.

Promień jest dziewięć razy większy. Odrzucamy ujemny pierwiastek: stosunek długości promieni jest dodatni.

Związek między rysunkiem a powierzchnią kuli

Rysunek przedstawia przekroje o promieniach w stosunku 1:9. Ich pola mają stosunek 1:81. Powierzchnie całych kul również mają stosunek 1:81, chociaż pojedyncze pole przekroju wynosi πR², a powierzchnia kuli 4πR². W ilorazie wspólny współczynnik się skraca.

Nie wolno przez to użyć πR² zamiast 4πR² w obliczeniu całkowitej mocy jednej gwiazdy. Tutaj metoda ilorazowa jest poprawna dlatego, że porównujemy dwie takie same geometrycznie zależności.

Sprawdzamy wynik i granice wniosku

Podstawienie R = 9R₀ daje powierzchnię 4π(9R₀)² = 81·4πR₀², a więc oczekiwaną moc 81L₀. Gdyby promień wzrósł 81 razy, moc przy stałej temperaturze wzrosłaby 6561 razy, co nie odpowiada zadaniu.

Średnica także jest dziewięć razy większa, lecz objętość podobnych kul byłaby 729 razy większa. Objętość nie występuje jednak w tym prawie emisji powierzchniowej. Nie wyznaczymy masy gwiazdy bez informacji o jej gęstości i budowie. W szczególności „większa moc” nie oznacza automatycznie proporcjonalnie większej masy.

Powiązana teoria

Promień gwiazdy z mocy i temperatury — prawo Stefana–Boltzmanna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny