Przybliżona niepewność odległości z dobrze zmierzonej paralaksy

Rozwiązanie

Odległość i jej niepewność to dwa rachunki

Dane wynoszą p = 50 mas i u(p) = 2 mas. Symbol u oznacza niepewność standardową, nie pewne granice wartości. Najpierw wyznaczymy odległość z wartości p, a potem zbadamy, jak mała zmiana p wpływa na wynik funkcji odwrotnej.

1. Odległość z wartości centralnej

Po zamianie jednostek mamy p = 0,050 arcsec oraz u(p) = 0,002 arcsec. Zatem:

\frac d{\mathrm{pc}}=\frac1{0{,}050}=20.

Odległość wynosi 20 pc. Nie podstawiamy niepewności do mianownika zamiast p: opisuje ona rozrzut pomiaru, nie sam zmierzony kąt.

2. Dlaczego niepewności względne są tutaj równe?

Dla wartości liczbowych x = p/arcsec i y = d/pc mamy y = 1/x. Nachylenie tej funkcji wynosi dy/dx = −1/x². W liniowym przenoszeniu niepewności używamy wartości bezwzględnej nachylenia, ponieważ niepewność nie może być ujemna:

u(y)\approx\frac{u(x)}{x^2},\qquad\frac{u(y)}y\approx\frac{u(x)}x.

Ta postać pozwala policzyć względną niepewność bez przeliczania mas, pod warunkiem że p i u(p) są w tej samej jednostce.

3. Wynik liczbowy

\frac{u(p)}p=\frac{2\ \mathrm{mas}}{50\ \mathrm{mas}}=0{,}04=4\%,\qquad u(d)\approx20\ \mathrm{pc}\cdot0{,}04=0{,}8\ \mathrm{pc}.

d = 20 pc, u(d) ≈ 0,8 pc. Można zapisać (20,0 ± 0,8) pc, wyraźnie zaznaczając, że liczba po znaku ± jest przybliżoną niepewnością standardową.

4. Kontrola przybliżenia i interpretacji

Jako test nieliniowości, nie jako przedział ufności, przeliczmy 48 i 52 mas. Otrzymujemy odpowiednio około 20,83 i 19,23 pc. Odchylenia 0,83 i 0,77 pc są bliskie liniowemu 0,8 pc, lecz nie identyczne. Mała względna niepewność 4% uzasadnia lokalne przybliżenie lepiej niż np. 50%.

Nie twierdzimy, że odległość na pewno leży między 19,2 i 20,8 pc. Nie uwzględnialiśmy też dodatkowych błędów układowych, ponieważ treść je pomija. Przy dużym szumie sam wzór 1/p i liniowe przenoszenie niepewności mogą wymagać zastąpienia pełniejszym modelem wnioskowania.

Powiązana teoria

Paralaksa roczna i parsek — od małego kąta do wielkiej odległości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny