Granice paralaksy dają niesymetryczne granice odległości

Rozwiązanie

Zanim odwrócimy liczby, ustalamy kolejność

Dla dodatniej paralaksy odległość maleje, gdy paralaksa rośnie. Bliska gwiazda silniej zmienia kierunek przy tej samej bazie obserwacji. Funkcja 1/p jest więc malejąca. Dolna granica odległości musi pochodzić z największego dopuszczalnego kąta.

1. Najmniejsza odległość

Największa paralaksa to p_max = 0,12 arcsec. Stąd:

d_{\min}=\frac1{0{,}12}\ \mathrm{pc}=\frac{25}{3}\ \mathrm{pc}\approx8{,}33\ \mathrm{pc}.

2. Największa odległość

Najmniejsza paralaksa to p_min = 0,08 arcsec. Stąd:

d_{\max}=\frac1{0{,}08}\ \mathrm{pc}=12{,}5\ \mathrm{pc}.

Odległość leży od około 8,33 pc do 12,5 pc. Ściśle dolna granica wynosi 25/3 pc; dziesiętne 8,33 jest jej zaokrągleniem. Odwracając dodatnią nierówność, odwracamy również kolejność granic.

3. Czy zakres jest symetryczny względem 10 pc?

Odległość 10 pc odpowiada p = 0,10 arcsec, czyli środkowi przedziału paralaks. Policzmy jednak odległości od obu granic:

10-\frac{25}{3}=\frac53\approx1{,}67\ \mathrm{pc},\qquad12{,}5-10=2{,}5\ \mathrm{pc}.

Rozpiętości są różne. To nie błąd zaokrąglenia: nieliniowa funkcja odwrotna rozciąga niższe kąty silniej niż wyższe. Środek arytmetyczny zakresu odległości wyniósłby około 10,42 pc, lecz zadanie nie każe traktować go jako najlepszego oszacowania.

4. Czego granice nie mówią?

Dane określają wyłącznie dodatni zakres p. Nie podają rozkładu prawdopodobieństwa, niepewności standardowej ani tego, jak często rzeczywista wartość powinna znaleźć się w przedziale. Nie przypisujemy więc wynikom poziomu ufności. Przekształciliśmy zbiór dopuszczalnych wartości za pomocą modelu, a nie przeprowadziliśmy dodatkowej analizy statystycznej.

Podstawienie końców w drugą stronę daje 1/12,5 = 0,08 oraz 1/(25/3) = 0,12. To kontrola zarówno rachunku, jak i odwróconej kolejności.

Powiązana teoria

Paralaksa roczna i parsek — od małego kąta do wielkiej odległości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny