Gwiazdy podwójne: środek masy i ważenie odległych układów

Potrzebne wiadomości: Środek masy, okres ruchu po okręgu i grawitacja Newtona.

Nie trzeba umieszczać gwiazdy na wadze

Ruch dwóch gwiazd pod wpływem wzajemnej grawitacji pozwala wyznaczać masy. Obie obiegają wspólny środek masy. Nawet jeśli jedna jest dużo jaśniejsza, nie musi być nieruchomym środkiem układu. Zacznijmy od modelu kołowych orbit bez istotnego wpływu innych ciał.

Położenie środka masy

Odległości składników od środka masy oznaczmy r₁ i r₂. Z definicji środka masy M₁r₁ = M₂r₂. Pełna odległość między składnikami to a = r₁ + r₂. Masywniejsza gwiazda ma mniejszy promień orbity. Jeśli M₁ = 3M₂, to r₂ = 3r₁, czyli r₁ = a/4 i r₂ = 3a/4.

Siły wzajemnego przyciągania mają jednakową wartość GM₁M₂/a². Różne przyspieszenia wynikają z różnych mas, a nie z nierównych sił. Przy wspólnym okresie T szybkości wynoszą vᵢ = 2πrᵢ/T, więc M₁/M₂ = v₂/v₁.

Okres i odległość dają sumę mas

Równania przyspieszeń kołowych to ω²r₁ = GM₂/a² i ω²r₂ = GM₁/a². Dodajemy je stronami. Po lewej zostaje ω²a, po prawej G(M₁ + M₂)/a². Ponieważ ω = 2π/T, otrzymujemy:

M_1+M_2=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}.

Użycie r₁ zamiast a jest zmianą fizycznej wielkości, nie niewinną zmianą symbolu. Dla elips odpowiednikiem a jest wielka półoś orbity względnej. Suma mas nie określa ich podziału: do niego potrzebujemy jeszcze stosunku promieni lub prędkości.

Przykład podziału układu

Jeżeli suma wynosi 6 umownych jednostek masy, a szybkości mają wartości v₁ = 20 km/s i v₂ = 40 km/s, to M₁/M₂ = 2. Dostajemy M₁ = 4 oraz M₂ = 2 jednostki. Dla separacji 9 milionów kilometrów r₁ = 3 miliony, r₂ = 6 milionów. Kontrola obejmuje dwa warunki: sumę odległości i jednakowe iloczyny Mᵢrᵢ.

Orbita oglądana ukośnie

Widmo dostarcza amplitud radialnych Kᵢ = vᵢ sin i. Kąt i = 90° oznacza widok z boku, a i = 0° z góry. W stosunku K₂/K₁ wspólny sin i się skraca, więc stosunek mas da się odzyskać. Skala odległości wywnioskowana z prędkości zawiera jednak sin i, a jej sześcian przenosi się do prawa Keplera:

(M_1+M_2)\sin^3i=\frac{T(K_1+K_2)^3}{2\pi G}.

Jeśli obserwacja daje lewą stronę równą jednej jednostce, to przy i = 90° suma mas wynosi jeden. Przy i = 30° wynosi osiem, bo sin³30° = 1/8. Bez geometrii wynik spektroskopowy jest ograniczeniem od dołu, nie pełną sumą. Zaćmienia lub pomiar orbity na niebie mogą dostarczyć brakującej informacji. Nie mylimy więc dobrze zmierzonej amplitudy z bezpośrednim pomiarem wszystkich parametrów układu.

Warsztat: od dwóch krzywych prędkości do dwóch mas

W widmie kołowego układu mierzymy amplitudy K₁ i K₂, a z powtarzalności zmian — okres T. Najpierw odejmujemy stałą prędkość środka masy: jej przesunięcie podnosi lub obniża obie krzywe, ale nie zmienia amplitud. Następnie wyznaczamy q = K₂/K₁ = M₁/M₂. Gdy znamy nachylenie, pełna separacja wynosi a = T(K₁ + K₂)/(2π sin i). Dopiero tę separację wstawiamy do równania sumy mas.

Załóżmy, że po uwzględnieniu geometrii otrzymaliśmy sumę 12 jednostek masy, a K₁ = 40 km/s i K₂ = 80 km/s. Wtedy q = 2 oraz:

M_2=\frac{M_1+M_2}{1+q}=4,\qquad M_1=\frac{q(M_1+M_2)}{1+q}=8.

Jednostki obu wyników są takie same jak jednostka zadanej sumy. Kontrolujemy 8 + 4 = 12 i 8·40 = 4·80. Te iloczyny wyrażają zgodność ruchu obu ciał względem środka masy.

Gdzie informacja znika?

Dla i bliskiego zeru amplitudy radialne maleją. Dokładny iloraz dwóch małych, zaszumionych amplitud może być trudny do zmierzenia; dla idealnego widoku z góry obie są zerowe i iloraz 0/0 nie wyznacza mas. Dla orbit eliptycznych trzeba uwzględnić mimośród oraz rzeczywistą postać krzywej prędkości. Nie zastępujemy amplitudy pojedynczą przypadkową prędkością z jednej nocy.

Zadania do tego tematu

• Podział separacji w układzie o stosunku mas trzy do jednego
• Stosunek mas z dwóch amplitud prędkości radialnych
• Suma mas z pełnej separacji i okresu
• Nieznane nachylenie a masa z prędkości radialnych

Dalsza lektura

Materiał referencyjny