Seria pomiarów: średnia, rozrzut i niepewność średniej

Potrzebne wiadomości: Średnia arytmetyczna, potęgowanie i pierwiastek kwadratowy.

Dwie różne miary

Dla n niezależnych pomiarów tej samej, niezmieniającej się wielkości obliczamy średnią \bar{x}=(x_1+\ldots+x_n)/n. Rozrzut pojedynczych wyników opisuje odchylenie standardowe z próby: s=\sqrt{\sum_i(x_i-\bar{x})^2/(n-1)}. Mianownik n−1 uwzględnia to, że średnią oszacowaliśmy z tych samych danych.

Standardowa niepewność średniej oceniona z takiej serii wynosi u_A(\bar{x})=s/\sqrt{n}. Nie dzielimy samej średniej przez pierwiastek z liczby pomiarów. Zwiększenie n zmniejsza niepewność średniej, ale nie sprawia, że pojedynczy odczyt staje się mniej rozrzucony.

Przykład

Dla czasów 1,9 s, 2,0 s i 2,1 s średnia wynosi 2,0 s. Suma kwadratów odchyleń to 0,02 s², zatem s=0,10 s, a niepewność średniej około 0,058 s. Tak mała seria daje jednak słabo ustaloną ocenę rozrzutu. Z samego zapisu ±u nie wynika automatycznie dokładny przedział o 95-procentowym poziomie ufności.

Warunek niezależności ma znaczenie. Jeżeli termometr przez cały eksperyment zawyża o 1°C, tysiąc odczytów nie usunie tego przesunięcia. Dryf temperatury podczas serii może z kolei oznaczać, że nie mierzymy już stałej wielkości. Ocena typu A jest częścią opisu pomiaru, a nie zamiennikiem oceny przyrządu i metody.

Co właściwie uśredniamy?

Wyniki pomiaru nie są czterema kandydatami do konkursu na najładniejszą liczbę. Są informacją o mierzonej wielkości i o sposobie jej wyznaczania. Zanim policzymy średnią, musimy upewnić się, że wszystkie dotyczą tego samego obiektu w porównywalnych warunkach. Średnia temperatury pokoju i ogrzewanego czajnika byłaby poprawnym rachunkiem arytmetycznym, ale nie odpowiadałaby na pytanie o temperaturę żadnego z nich.

W serii niezależnych odczytów tej samej stałej wielkości dodatnie i ujemne odchylenia mogą się częściowo znosić. Dlatego średnia bywa stabilniejsza niż pojedynczy odczyt. Nie oznacza to, że po wykonaniu wielu odczytów przyrząd nagle zyskał lepszą rozdzielczość albo zniknęło jego przesunięcie zera. Warto rozdzielić trzy pytania: gdzie leży środek serii, jak szeroko rozrzucają się odczyty i jak niepewne jest oszacowanie tego środka.

Przykład rachunku od początku do końca

Dla 10,12,11,11 mm suma wynosi 44 mm, a średnia 11 mm. Odchylenia od średniej to −1,+1,0,0 mm. Ich suma jest zerowa z definicji średniej, więc nie nadaje się na miarę rozrzutu. Kwadraty wynoszą 1,1,0,0 mm², suma 2 mm². Dzieląc przez n−1=3 i pierwiastkując, dostajemy s≈0,816 mm. Dopiero s/√4≈0,408 mm opisuje niepewność średniej ocenioną z tej serii.

Warto zauważyć jednostki na każdym etapie: kwadraty odchyleń mają mm², wariancja też, odchylenie standardowe i niepewność mają mm. Wynik s=0,816 mm² byłby błędny nawet przy poprawnej liczbie. Zapis średniej 11,00 mm z u=0,41 mm nie mówi, że wszystkie przyszłe odczyty muszą mieścić się między 10,59 a 11,41 mm. To nie granica błędu pojedynczego odczytu.

Dlaczego liczba pomiarów wchodzi pod pierwiastek?

Dla niezależnych odczytów o tej samej wariancji σ² wariancja ich sumy wynosi nσ². Średnią otrzymujemy, dzieląc sumę przez n, więc jej wariancja wynosi nσ²/n²=σ²/n. Pierwiastek daje σ/√n. W praktyce nieznane σ szacujemy przez s. Ten rachunek pokazuje, skąd bierze się zależność i dlaczego niezależność jest istotna: skorelowane wyniki wnoszą dodatkowe wyrazy do wariancji sumy.

Jeśli dla 9 pomiarów u=0,12 s, a chcemy 0,04 s, nie wystarczy potroić serii. Niepewność ma spaść trzykrotnie, więc n musi wzrosnąć dziewięciokrotnie, do 81. Trzeba dołożyć 72 odczyty. Jest to prognoza przy niezmienionym rozrzucie, a nie obietnica, że dowolne 81 wskazań dowolnego stopera da taki wynik. Gdy dominuje inny składnik niepewności, dalsze powtarzanie przestaje przynosić spodziewaną korzyść.

Kontrast: rozrzut, przesunięcie i dryf

Sto odczytów wzorca 50,00 g skupionych koło 50,20 g wskazuje na możliwe zawyżenie. Jeszcze tysiąc odczytów może lepiej ustalić tę błędnie przesuniętą średnią, ale nie cofnie jej automatycznie o 0,20 g. W takim punkcie wzorcowania sugerowana poprawka ma znak ujemny. Nie dowodzi to jednak, że ta sama poprawka działa przy masie 5 g i 500 g; trzeba sprawdzić zakres.

Seria 20,0;20,4;20,8;21,2°C ma średnią 20,6°C, ale również wyraźną kolejność wzrostu. Być może badany obiekt się nagrzewa albo czujnik dryfuje. Wykres odczytu względem czasu pomaga zobaczyć to, czego nie ujawnia sama średnia. Losowe przestawienie kolejności tych samych liczb nie zmieni średniej ani s, lecz usunie informację o trendzie. Dlatego surowy zapis powinien zachować czas i kolejność pomiarów.

Sprawdź się

Czy czterokrotnie większa niezależna seria zmniejszy s czterokrotnie? Nie. Przy tych samych warunkach oczekujemy podobnego rozrzutu pojedynczych wyników, natomiast niepewność średniej zmniejszy się około dwukrotnie. Czy u=0 oznacza doskonały pomiar, jeśli wszystkie wskazania są identyczne? Też nie: przyrząd mógł zaokrąglić wszystkie do tej samej działki, a jego wzorcowanie i metoda nadal wnoszą niepewność.

Łączny wynik: rozrzut serii i informacja o przyrządzie

Załóżmy, że do czterech odczytów z przykładu dochodzi niezależna standardowa niepewność wzorcowania 0,20 mm. Dotyczy ona wspólnie całej serii, więc nie dzielimy jej przez √4. Łączna standardowa niepewność średniej wynosi u_c=\sqrt{u_A^2+u_B^2}=\sqrt{0{,}408^2+0{,}20^2}\approx0{,}455\,\mathrm{mm}. Wspólna informacja o wzorcowaniu i niezależny rozrzut odczytów mają różne pochodzenie, ale w tym modelu obie wchodzą do wyniku.

Jeżeli każdy odczyt zwiększymy o dokładnie 0,30 mm, średnia wzrośnie o 0,30 mm, a odchylenia od nowej średniej i s pozostaną takie same. Poprawka −0,30 mm przywróci poprzednią średnią, jednak jej własna niepewność wymaga osobnej oceny. Błąd pomiaru jest różnicą względem wartości odniesienia; zwykle nie znamy jego dokładnej wartości. Niepewność opisuje ograniczenie naszej wiedzy o wyniku, a nie znany błąd, który wystarczy odjąć.

W interaktywnej serii czterech odczytów zmień najpierw wszystkie wskazania o tę samą wartość, a potem rozsuń dwa skrajne przy zachowaniu średniej. Zanim odczytasz liczby, przewidź, które z wielkości: średnia, s i u_A, się zmienią. W ten sposób oddzielisz przesunięcie wyniku od wzrostu rozrzutu.

Zadania do tego tematu

• Cztery pomiary długości i dwa różne odchylenia
• Ile powtórzeń potrzeba, aby zmniejszyć niepewność trzy razy?
• Sto zgodnych odczytów z rozkalibrowanej wagi
• Czy rosnąca seria temperatur nadaje się do zwykłego uśrednienia?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny