Przemiany gazowe: izoterma, izochora, izobara i adiabata

Potrzebne wiadomości: Równanie gazu doskonałego oraz pierwsza zasada termodynamiki.

Jedna konwencja znaków

Przyjmujemy \Delta U=Q-W, gdzie W jest pracą wykonaną przez gaz. Dla gazu doskonałego \Delta U=nC_V\Delta T. Przy stałej objętości W=0, więc Q=ΔU. Przy stałym ciśnieniu W=p\Delta V=nR\Delta T i Q=nC_p\Delta T. Stąd dla gazu doskonałego C_p-C_V=R.

W izotermie temperatura się nie zmienia, więc ΔU=0 i Q=W. Dla powolnej przemiany odwracalnej W=nRT\ln(V_2/V_1). W izochorze p/T jest stałe, w izobarze V/T stałe, a w izotermie pV stałe. Temperatury podajemy w kelwinach.

Dlaczego Cₚ jest większe od Cᵥ?

Porównajmy ogrzanie tej samej ilości gazu o ten sam przyrost temperatury. W sztywnym zbiorniku gaz nie przesuwa tłoka: W=0. Pod ruchomym tłokiem przy stałym ciśnieniu zwiększa objętość i wykonuje pracę. Przyrost energii wewnętrznej jest taki sam, bo w idealnym gazie zależy od temperatury, lecz w drugim przypadku trzeba dodatkowo dostarczyć energię na pracę.

Z pV=nRT dla stałego p mamy pΔV=nRΔT. Podstawiając do Q=ΔU+W, dostajemy nCₚΔT=nCᵥΔT+nRΔT. Po skróceniu nΔT zostaje Cₚ=Cᵥ+R. Jest to różnica molowych pojemności cieplnych gazu doskonałego; nie utożsamiamy jej z różnicą dowolnych ciepeł właściwych cieczy.

Brak ciepła nie oznacza stałej temperatury

Adiabata ma Q=0. Rozprężający się gaz może wykonywać pracę kosztem U i stygnąć. Dla odwracalnej adiabaty gazu doskonałego o stałych ciepłach molowych pV^\gamma=const oraz TV^{\gamma-1}=const, gdzie γ=Cₚ/Cᵥ.

Te ostatnie wzory wymagają odwracalności. Swobodne rozprężanie idealnego gazu w izolowanym naczyniu do próżni ma Q=0 i W=0, więc nie zmienia U ani temperatury; nie spełnia przy tym odwracalnej adiabaty pVᵞ=const. Na wykresie p(V) praca jest polem pod drogą quasi-statycznej przemiany. Pole zamkniętego cyklu daje pracę netto ze znakiem zależnym od kierunku obiegu.

Skąd potęga w równaniu adiabaty?

W odwracalnej przemianie adiabatycznej dQ=0 i nCᵥdT=−p dV. Wstawiając p=nRT/V, dzielimy przez nCᵥT:

\frac{dT}{T}=-\frac{R}{C_V}\frac{dV}{V}=-(\gamma-1)\frac{dV}{V}.

Całkowanie przy stałych Cᵥ iγ daje ln(T₂/T₁)=−(γ−1)ln(V₂/V₁), a więc TV^γ−1=const. Nie trzeba pamiętać, gdzie stoi minus: rozprężanie zwiększa V i zmniejsza T.

Trzy rozprężania, trzy bilanse

W odwracalnej izotermie gaz wykonuje pracę i pobiera tyle samo ciepła. W odwracalnej adiabacie wykonuje pracę bez pobierania ciepła, więc stygnie. W swobodnym rozprężaniu do próżni nie wykonuje pracy przeciw ciśnieniu zewnętrznemu; w izolacji nie wymienia też ciepła. Idealny gaz zachowuje wtedy temperaturę.

To ostatnie przejście nie biegnie przez równowagowe stany o jednym ciśnieniu w całej objętości. Narysowanie hiperboli między końcowymi punktami nie czyni jej rzeczywistą drogą procesu ani nie pozwala policzyć pracy jako pola pod tą umowną kreską. Najpierw rozpoznaj mechanizm, dopiero potem dobieraj wzór.

Zadania do tego tematu

• Izobaryczne ogrzanie jednego mola gazu
• Odwracalna adiabata z ośmiokrotną objętością
• Gaz wpuszczony do próżni w izolowanym naczyniu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny