Cykl na wykresie p(V): praca, ciepło i kierunek obiegu

Potrzebne wiadomości: Pierwsza zasada termodynamiki i pole prostokąta lub trójkąta.

Pole ze znakiem

W quasi-statycznej przemianie praca gazu to W=\int p\,dV. Przy rozprężaniu dV jest dodatnie, przy sprężaniu ujemne. W izochorze praca objętościowa jest zerowa. Dla cyklu zamkniętego suma prac odpowiada polu obszaru ze znakiem. Obieg zgodny z ruchem wskazówek zegara na osiach V poziomo i p pionowo daje dodatnią pracę gazu.

Energia wewnętrzna jest funkcją stanu. Po pełnym cyklu ΔU=0, zatem algebraiczna suma ciepła równa się pracy netto. Nie oznacza to, że ciepło było równe zero ani że gaz nie oddawał go w części cyklu. Sprawność silnika wynosi W_netto/Q_pobrane, gdzie Q_pobrane jest sumą dodatnich dopływów, a nie ciepłem netto.

Sprawdzenie jednostek

1 kPa to 1000 Pa, a litr to 0,001 m³. Iloczyn ma więc wartość 1 Pa·m³=1 J. Gdyby na osi objętości były m³, ta sama liczba kilopaskali wymagałaby już przeliczenia na tysiące dżuli. Jednostka osi jest częścią informacji o polu.

Przykład prostokąta

Gaz rozpręża się od 1 do 3 litrów przy 300 kPa, wraca przy 100 kPa, a pionowe odcinki zamykają cykl. Praca wynosi (300−100) kPa·2 l=400 J, ponieważ kPa·l=J. Gdy pobrał 1000 J, oddał 600 J, a sprawność wyniosła 40%.

Odwrócenie kierunku obiegu zmienia znak pracy. Taki cykl wymaga doprowadzenia pracy i może służyć pompowaniu ciepła. Sama powierzchnia wykresu nie wyznacza wszystkich ciepeł poszczególnych przemian; potrzebny jest model gazu i przebieg stanów. Nie odczytujemy pracy jako pola pod wykresem p(t), bo jego wymiar jest inny.

Rozpisz prostokąt, zanim policzysz jego pole

Przy rozprężaniu od 2 do 5 l pod ciśnieniem 250 kPa gaz wykonuje 250·3=750 J pracy. Przy sprężaniu od 5 do 2 l pod 100 kPa wykonuje 100·(−3)=−300 J. Pionowe przejścia zachodzą przy stałym V, więc nie dają pracy objętościowej. Suma to 450 J.

Ten sam wynik otrzymujemy z pola prostokąta: (250−100)·(5−2)=450. Pierwsza droga wyjaśnia jednak znak i znaczenie wyniku. Nie sumujemy pola pod górną i dolną linią jako dwóch dodatnich obszarów, ponieważ dolną drogę pokonujemy w przeciwnym kierunku.

Ciepła nie odczytasz z samej powierzchni

Przyjmijmy dodatkowo jednoatomowy gaz doskonały i obieg zaczynający się w punkcie 2 l, 100 kPa: ogrzewamy go pionowo do 250 kPa, potem rozprężamy, chłodzimy pionowo i sprężamy. Ponieważ U=3 pV/2, przyrosty U na kolejnych odcinkach wynoszą 450, 1125, −1125, −450 J. Po dodaniu odpowiednich prac dostajemy Q=450, 1875, −1125, −750 J.

Gaz pobrał 2325 J i oddał 1875 J, więc praca 450 J jest różnicą. Sprawność tego konkretnego modelu wynosi 450/2325≈19,35%. Sam geometryczny prostokąt nie podawał tych ciepeł: musieliśmy jawnie dopisać model energii wewnętrznej. Nie przypisujemy tej sprawności każdemu gazowi na takim rysunku.

Odwracanie drogi

Po odwróceniu odwracalnego cyklu wszystkie prace odcinkowe i ciepła zmieniają znaki. Całość potrzebuje 450 J pracy z zewnątrz. ΔU po cyklu nadal wynosi zero, bo układ wraca do tego samego stanu. Zerowy bilans U nie oznacza bezczynności: energia mogła przepływać wielokrotnie między układem i otoczeniem.

Zadania do tego tematu

• Prostokątny cykl w kilopaskalach i litrach
• Ciepło pobrane nie jest ciepłem netto
• Te same punkty cyklu, odwrotny kierunek

Dalsza lektura

Materiał referencyjny