Prawa Kirchhoffa: znaki prądów i napięć w rozgałęzionym obwodzie

Potrzebne wiadomości: Prawo Ohma, połączenia oporników i równania liniowe.

Gdzie zawodzi samo upraszczanie oporników?

Dwa oporniki narysowane jeden pod drugim nie muszą tworzyć szeregu. Jeśli z ich wspólnego punktu wychodzi dodatkowa przewodząca gałąź, prąd może się tam rozdzielić. Zamiast na siłę szukać połączeń szeregowych i równoległych, oznaczmy potencjały węzłów i policzmy przepływ ładunku. To metoda działająca również w rozgałęzionych układach i mostkach.

Prawo węzłów wynika z zachowania ładunku

Gdyby w każdej sekundzie więcej ładunku wpływało do węzła niż wypływało, węzeł stale by się ładował. W stanie ustalonym tak się nie dzieje. Suma prądów wpływających musi więc być równa sumie wypływających. Strzałki wolno wybrać umownie; ujemny wynik mówi wtedy, że rzeczywisty zwrot jest przeciwny.

Na przykład przy 5 mA wpływających oraz 3 mA i 4 mA wypływających trzecia gałąź nie może dodatkowo odprowadzać 2 mA. Jeśli oznaczono ją strzałką na zewnątrz, równanie 5 = 3 + 4 + I daje I = −2 mA. Rzeczywiście wpływa 5 + 2 = 7 mA i tyle samo wypływa.

Prawo oczek pilnuje bilansu napięć

Obchodząc zamkniętą drogę, wracamy do tego samego potencjału. Suma jego zmian jest zerowa. Przejście przez opornik zgodnie z przyjętym prądem daje −IR, przeciwnie +IR; przez idealne źródło od minusa do plusa daje +U. Model zakłada elementy skupione i brak nieujętej SEM indukowanej w oczku. Jeśli zmieniające się pole obejmuje obwód, tę SEM trzeba włączyć do równania.

Obliczamy jeden nieznany potencjał

Węzeł V łączą trzy oporniki po 1 kΩ z punktami 6 V, 3 V i 0 V. Wybierzmy prądy wszystkich gałęzi w stronę węzła. Suma jest zerowa:

\frac{6-V}{1000}+\frac{3-V}{1000}+\frac{0-V}{1000}=0.

Po pomnożeniu przez 1000 Ω i wyrażeniu potencjałów w woltach otrzymujemy 9 − 3V = 0, czyli potencjał węzła 3 V. Z pierwszej gałęzi wpływają 3 mA, z drugiej nic, a trzecia odprowadza 3 mA. Wybór zwrotów był pomocniczy; wynik sam wskazał gałąź odpływającą.

Zmieńmy wyłącznie środkowy opór z 1 kΩ na 2 kΩ. Równanie staje się (6 − V) + (3 − V)/2 − V = 0. Nadal daje V = 3 V, ponieważ gałąź o zerowej różnicy potencjałów nie przewodzi prądu niezależnie od tego oporu. Gdyby zamiast oporu zmienić potencjał końca z 3 V na 5 V przy trzech równych oporach, otrzymalibyśmy V = 11/3 V. To inna zmiana warunków, więc nie należy automatycznie przenosić wyniku.

Mostek sprawdzamy przez równość potencjałów

Nieobciążone dzielniki 100 Ω + 200 Ω oraz 150 Ω + 300 Ω między 6 V a 0 V mają środki przy 4 V. Idealny detektor między nimi nie przewodzi, bo różnica potencjałów wynosi zero. Po zmianie jednego ramienia ta równowaga może zniknąć; prąd detektora obciąży dzielniki. Wtedy użycie dwóch wzorów dla nieobciążonych dzielników bez ponownego bilansu nie wystarczy.

Gdy detektor rzeczywiście przewodzi

Zmieńmy dolne prawe ramię mostka na 150 Ω i nadajmy detektorowi opór 300 Ω. Bez detektora lewe i prawe środki miałyby 4 V oraz 3 V. Próba obliczenia jego prądu jako (4−3)/300 Ω pomijałaby wpływ tego prądu na oba dzielniki.

Oznaczmy potencjały środków przez V_L i V_P, odniesione do wspólnego dolnego węzła. W każdym węźle zapisujemy sumę trzech prądów wypływających:

\frac{V_L-6}{100}+\frac{V_L}{200}+\frac{V_L-V_P}{300}=0,\qquad \frac{V_P-6}{150}+\frac{V_P}{150}+\frac{V_P-V_L}{300}=0.

Potencjały w tych równaniach wyrażamy w woltach, a opory w omach. Po usunięciu mianowników dostajemy 11V_L−2V_P=36 oraz −V_L+5V_P=12. Rozwiązanie to V_L=204/53 V≈3,849 V, V_P=168/53 V≈3,170 V. Prąd poprzeczny wynosi około 2,264 mA, a nie 3,333 mA.

Prąd odpływający z lewego środka obniżył jego potencjał, a dopływający do prawego podniósł prawy. Różnica napięć zmalała. Sprawdzenie lewego węzła daje około 21,509 mA od góry, 19,245 mA w dół i 2,264 mA w prawo. Te liczby zamykają bilans ładunku. Gdy opór detektora rośnie bez ograniczeń, jego prąd dąży do zera i wracają wartości 4 V oraz 3 V; nie wolno jednak wstawić ich bez poprawki dla skończonych 300 Ω.

Zadania do tego tematu

• Brakujący prąd w węźle i sens ujemnego wyniku
• Węzeł zasilany przez dwa źródła o różnych napięciach
• Dobór czwartego opornika do równowagi mostka
• Dwa przeciwne źródła w jednym oczku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny