SEM, opór wewnętrzny i napięcie zaciskowe źródła

Potrzebne wiadomości: Prawo Ohma, obwód szeregowy i moc elektryczna.

Źródło i odbiornik na jednym schemacie

W modelu szeregowym ten sam prąd przepływa przez opór wewnętrzny i odbiornik. Idealna część źródła podnosi energię potencjalną jednostkowego ładunku o ε, natomiast na obu oporach następują spadki napięcia. Po pełnym obiegu wracamy do tego samego punktu, więc:

\varepsilon-Ir-IR=0,\qquad \varepsilon=I(r+R).

Dopiero z tego bilansu wynika wzór na natężenie. Napięcie zaciskowe obejmuje odbiornik R, nie sumę R + r. Gdy obciążenie pobiera coraz większy prąd, większa część SEM przypada na spadek wewnętrzny. Źródło o SEM 12 V może więc zasilać odbiornik napięciem 10 V bez żadnej sprzeczności.

Model źródła

Źródło przedstawiamy jako idealną siłę elektromotoryczną ε połączoną szeregowo z oporem wewnętrznym r. Mimo historycznej nazwy siła elektromotoryczna nie jest siłą mierzoną w niutonach. Jest energią dostarczaną przez źródło na jednostkę ładunku i ma jednostkę wolta.

Po podłączeniu zewnętrznego opornika R natężenie wynosi:

I=\frac{\varepsilon}{R+r}.

Napięcie zaciskowe przy oddawaniu energii do odbiornika jest równe:

U=IR=\varepsilon-Ir.

Znaki te dotyczą źródła rozładowywanego, nie ładowanego z zewnątrz. Model ze stałymi ε i r jest przybliżeniem; parametry rzeczywistej baterii zależą między innymi od stanu naładowania, temperatury i natężenia.

Przykład

Źródło ma ε = 6 V i r = 1 Ω. Po podłączeniu R = 5 Ω płynie prąd 1 A. Na odbiorniku występuje napięcie 5 V, a spadek wewnętrzny wynosi 1 V. Przy otwartym obwodzie idealny woltomierz nie pobiera prądu, więc mierzy 6 V. Nie można zatem bezwarunkowo wstawiać SEM jako napięcia na obciążonym odbiorniku.

Charakterystyka U(I) jako sposób odczytu parametrów

Przy stałych ε i r zależność U = ε − rI jest linią opadającą. Przecięcie osi napięcia przy I = 0 daje SEM. Nachylenie wynosi −r; dlatego opór wewnętrzny wyznaczamy z ujemnego ilorazu zmiany napięcia i zmiany prądu. Nie musimy wykonywać zwarcia ani dochodzić z wykresem do osi natężenia.

Dla dwóch obciążeń o prądach I₁, I₂ i napięciach U₁, U₂:

r=-\frac{U_2-U_1}{I_2-I_1},\qquad \varepsilon=U_1+rI_1.

Użycie różnicy jest ważne: iloraz samego U/I opisuje opór zewnętrznego odbiornika. Na przykład punkt 0,60 A i 7,2 V daje R = 12 Ω. Dopiero odniesienie go do napięcia bez obciążenia 9,0 V pozwala otrzymać r = 3 Ω.

Bilans mocy

Moc dostarczana przez idealną część źródła wynosi εI. Odbiornik otrzymuje UI = I²R, a wewnątrz źródła wydziela się I²r. Równość εI = I²R + I²r pozwala sprawdzić obliczenia niezależnie od napięć.

Zmniejszanie oporu odbiornika zwiększa prąd, ale równocześnie zwiększa spadek Ir. W granicznym modelu zwarcia prąd nie rośnie do nieskończoności, lecz jest ograniczony przez r. Nie jest to jednak zalecany sposób pomiaru oporu wewnętrznego: rzeczywiste zwarcie może uszkodzić źródło i spowodować niebezpieczne nagrzanie. W zadaniach parametry wyznaczamy z podanych, bezpiecznie uzyskanych pomiarów napięcia i natężenia, nie z wykonywania zwarć.

Co zmienia kierunek przepływu energii?

W tym samym uproszczonym modelu ε = 6 V i r = 1 Ω rozważmy ładowanie prądem o wartości 1 A, skierowanym do dodatniego zacisku źródła. Napięcie zewnętrzne musi teraz wynosić 6 V + 1 V = 7 V. Dostarczana moc 7 W dzieli się na 6 W przekazywane idealnej części źródła i 1 W strat wewnętrznych. Przy rozładowywaniu prądem 1 A napięcie zaciskowe wynosiło 5 V. Znak przed Ir wynika z kierunku prądu i przyjętej orientacji napięcia, a nie z zapamiętanego na każdą sytuację odejmowania. Rzeczywiste ładowanie akumulatora wymaga odpowiedniego układu; tu porównujemy tylko bilanse modelu.

Otwarte zaciski i duże obciążenie

Woltomierz idealny pozostawia I = 0, stąd U = ε i moc oddawana P = UI = 0. Wysokie napięcie bez prądu nie oznacza dużej mocy przekazywanej odbiornikowi. Z drugiej strony duży prąd może oznaczać duże straty I²r. Dla odbiornika 5 Ω i r = 1 Ω udział mocy dostarczonej odbiornikowi wynosi R/(R+r) = 5/6. Nie jest to sprawność wszystkich procesów chemicznych baterii — porównujemy wyłącznie dwie moce w uproszczonym modelu obwodu.

Jaki odbiornik dostaje największą moc?

Stałe ε i r pozwalają zadać jeszcze inne pytanie niż o największy prąd. Moc wydzielana w zewnętrznym oporniku wynosi:

P_R=I^2R=\frac{\varepsilon^2R}{(R+r)^2}.

Przy ogromnym R prąd jest bardzo mały, więc moc także maleje. Gdy R zbliża się do zera, napięcie zaciskowe zbliża się do zera i prawie cała moc wydziela się wewnątrz źródła. Maksimum zewnętrzne wypada pomiędzy tymi granicami. Można je znaleźć bez pochodnej: dla dodatnich oporów (R − r)² ≥ 0, zatem (R + r)² ≥ 4Rr. Stąd P_R ≤ ε²/(4r), z równością tylko przy R = r.

Dla ε = 12 V i r = 1 Ω maksimum wynosi 36 W przy R = 1 Ω. Płynie wtedy 6 A, odbiornik ma 6 V, a wewnątrz źródła wydziela się drugie 36 W. W samym modelu tylko połowa mocy idealnej części źródła dociera do odbiornika.

Porównaj to z R = 5 Ω: prąd 2 A, moc zewnętrzna 20 W i wewnętrzna 4 W. Moc odbiornika jest mniejsza, ale jej udział w mocy εI wzrasta do 20/24 = 5/6. Maksymalizacja mocy i ograniczanie strat to różne cele. Nie wolno przenieść reguły R = r na dowolny zasilacz ani traktować jej jako bezpiecznego punktu pracy baterii: ograniczenia prądowe, temperatura oraz zmiana parametrów mogą unieważnić ten prosty model.

Zadania do tego tematu

• Źródło rzeczywiste — zadanie: napięcie pod obciążeniem
• Źródło rzeczywiste — zadanie: wyznaczanie oporu wewnętrznego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny