Pole pod wykresem: przemieszczenie, impuls i przeniesiony ładunek

Potrzebne wiadomości: Pola prostokąta, trójkąta i trapezu; prędkość, siła i natężenie prądu.

Zaczynamy od stałej wartości

Przy stałej składowej prędkości przemieszczenie wynosi vt: jest polem prostokąta na wykresie v(t). Gdy prędkość zmienia się liniowo, zamiast prostokąta otrzymujemy trapez, a średnia składowa prędkości jest średnią wartości końcowych. Dla bardziej złożonego przebiegu dzielimy wykres na krótsze odcinki; całka jest granicznym zapisem takiej sumy.

Jednostki wskazują interpretację: (m/s)·s daje metry, N·s daje impuls siły, a A·s daje kulomby. Pole pod wykresem siły względem położenia ma inny sens niż pole pod wykresem siły względem czasu: pierwsze może opisywać pracę, drugie impuls.

Znak pola nie jest drobiazgiem

Jeśli składowa prędkości jest ujemna, wkład do przemieszczenia także jest ujemny. Droga wymaga sumowania pól pod wartością bezwzględną prędkości. Ciało jadące przez 3 s z v=2 m/s i przez 1 s z v=−2 m/s przemieści się o 4 m, ale przebędzie 8 m.

Wykres z przesuniętą osią pionową wymaga ostrożności. Pole liczymy względem wartości zerowej danej wielkości, nie względem dolnej krawędzi rysunku. Trapez jest dokładny dla odcinka liniowego; użyty do zakrzywionej zależności staje się przybliżeniem.

Pole na kartce nie ma samo z siebie dżuli

Ten sam prostokąt o bokach 10 i 2 może opisywać 20 metrów,20 kulombów,20 dżuli albo 20 niutonosekund. Decydują podpisy osi, nie wygląd figury. Przed liczeniem pola zapiszmy iloczyn jednostek: wielkość pionowa razy wielkość pozioma. Jeżeli nie znamy jednostki którejś osi, nie znamy również fizycznej interpretacji pola, choć umiemy policzyć jego geometryczną powierzchnię.

Przy stałej wartości wykresu mnożenie przez szerokość przedziału jest dokładne. Przy prostej łączącej dwie różne wartości używamy pola trapezu, czyli średniej wartości końców razy szerokość. Przy krzywej możemy podzielić ją na węższe przedziały, ale wtedy otrzymujemy przybliżenie. Im drobniejszy podział i gładsza zależność, tym lepiej można odtworzyć pole; całka porządkuje ten pomysł bez konieczności ręcznego rysowania tysięcy pasków.

Przykład: ruch z powrotem

Wózek jedzie przez 4 s ze składową +3 m/s, potem przez 3 s z−2 m/s. Pierwszy prostokąt daje +12 m, drugi −6 m. Przemieszczenie wynosi +6 m. Droga sumuje przebyte odcinki bez znaku, więc 18 m. Jeśli początkowo x=5 m, końcowo x=11 m; droga nadal 18 m. Początkowe położenie nie jest dodatkowo przebytym odcinkiem.

W idealnym wykresie prędkość przeskakuje z+3 do −2 natychmiast. Rzeczywisty zwrot wymaga czasu i oddziaływań, ale w tym uproszczeniu pomijamy czas przejścia. Nie wolno z pionowego skoku odczytać skończonego przyspieszenia. Odcinki pól pozostają jednak jednoznaczne dla zadanego modelu. Trzeba odróżnić to, co model pozwala obliczyć, od tego, czego świadomie nie opisuje.

Przykład: impuls krótkiej siły

Siła rośnie liniowo do 80 N w 0,10 s, następnie maleje do zera przez kolejne 0,10 s. Cały wykres jest trójkątem o podstawie 0,20 s i wysokości 80 N. Pole 8 N·s jest impulsem siły. Średnia w całym przedziale wynosi 8/0,20=40 N, nie 80 N. Wartość szczytowa występuje tylko w jednej chwili i nie reprezentuje całego przebiegu.

Jeżeli to siła wypadkowa, impuls jest zmianą pędu. Dla masy 2 kg zmieniłby prędkość o 4 m/s w kierunku działania. Nie wyznacza jednak sam końcowej energii bez początkowej prędkości. Ciało początkowo nieruchome zyskałoby 16 J, a poruszające się już zgodnie z siłą z 3 m/s zyskałoby 40 J. Ten sam impuls może więc odpowiadać różnym pracom.

Przykład: prąd rosnący w czasie

Prąd rośnie od 1 do 3 A przez 4 s. Średnia na liniowym odcinku wynosi 2 A, więc ładunek 8 C. Potem 3 A przez 2 s daje 6 C. Razem 14 C w 6 s. Średni prąd całego przebiegu to 14/6≈2,33 A. Nie jest średnią arytmetyczną 1 i 3 A, ponieważ dłuższy opis zawiera jeszcze plateau i wymaga uwzględnienia czasu trwania każdej części.

Można rozłożyć pierwszy trapez na prostokąt 1 A·4 s=4 C i trójkąt o wysokości 2 A oraz podstawie 4 s, też 4 C. Suma zgadza się z metodą średniej końców. Taki drugi podział jest użyteczną kontrolą: oba sposoby muszą zachować tę samą oś zerową i ten sam całkowity przedział. Odcięcie wykresu na poziomie 1 A bez dodania prostokąta zgubiłoby połowę pierwszego ładunku.

Sprawdź się: dwa pola z tą samą liczbą

Siła 10 N utrzymywana przez 2 s daje 20 N·s impulsu. Ta sama wartość składowej siły działająca na odcinku 2 m daje 20 J pracy. Liczby są równe, lecz jednostki i znaczenia inne. Nie ma stałego przelicznika niutonosekund na dżule. Potrzebne są informacje o ruchu, masie i o tym, czy rozpatrywana siła jest wypadkową czy tylko jednym z oddziaływań.

Pole ze znakiem oraz granice odczytu z próbek

Zależność \Delta x=\int v_x\,dt dodaje przemieszczenia ze znakami, a s=\int |v_x|\,dt dodaje długości przebytej drogi. W ruchu prostoliniowym zawsze s≥|Δx|. Równość zachodzi, gdy zwrot ruchu nie zmienia się poza chwilami spoczynku. Jest to praktyczna kontrola: droga 6 m i przemieszczenie 18 m nie mogłyby opisywać tego samego odcinka ruchu.

Gdy dysponujemy tylko próbkami, połączenie ich prostymi jest założeniem o przebiegu między odczytami. Dwa odczyty prądu 0 A w chwilach 0 i 2 s nie dowodzą, że przepłynął zerowy ładunek. Pomiędzy nimi mógł wystąpić impuls trójkątny o wysokości 4 A i podstawie 2 s; przeniósłby 4 C. Zwiększenie częstości próbkowania pomaga go wykryć, lecz sam wykres kreślony przez program nie dodaje brakujących danych.

Na wykresie siły w funkcji położenia potrzebujemy składowej wzdłuż przemieszczenia. Pole pod wykresem samej wartości siły nie daje automatycznie pracy w ruchu po łuku. Na wykresie siły w funkcji czasu impuls odnosi się do wskazanej siły; dopiero suma impulsów wszystkich sił daje zmianę pędu układu.

Zadania do tego tematu

• Powrót wózka: przemieszczenie inne niż droga
• Impuls siły o trójkątnym przebiegu
• Ładunek podczas liniowego wzrostu prądu
• Dwa wykresy siły, dwie różne wielkości fizyczne

Dalsza lektura

Materiał referencyjny