Wartości funkcji trygonometrycznych

Najpierw wybierz kąt, potem boki

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny i jeden z jego kątów ostrych α. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa. Jedna przyprostokątna leży naprzeciw α, a druga przylega do α. Jeżeli wybierzesz drugi kąt ostry, te dwie przyprostokątne zamienią się rolami.

\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przy }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}.

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.

Są to stosunki długości, więc nie mają jednostki. Powiększenie wszystkich boków dwa razy nie zmieni ani kątów, ani tych ilorazów. Dlatego wolno nam dobrać wygodne długości do rachunku.

45°: przekątna kwadratu

Przetnij kwadrat o boku 1 wzdłuż przekątnej. Otrzymasz dwa przystające trójkąty prostokątne. Równe przyprostokątne oznaczają równe kąty ostre, zatem każdy ma 45°. Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.

\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \operatorname{tg}45^\circ=1.

Ostatnia równość dla sinusa powstaje po pomnożeniu licznika i mianownika przez √2. To ten sam dokładny wynik, a nie kolejne przybliżenie.

30° i 60°: wysokość trójkąta równobocznego

Narysuj trójkąt równoboczny o boku 2. Jego wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki długości 1, a górny kąt 60° na dwa kąty 30°. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 2, krótszej przyprostokątnej 1 i wysokości h:

h^2+1^2=2^2,\qquad h=\sqrt3.

Naprzeciw kąta 30° leży bok 1, a przy nim bok √3. Przy kącie 60° role tych boków się odwracają:

\sin30^\circ=\frac12,\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos60^\circ=\frac12.

\operatorname{tg}30^\circ=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},\qquad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3.

A co z 0°, 90° i większymi kątami?

Trójkąt z kątem ostrym nie wystarcza do wszystkich pozycji tabeli. Przedłużamy definicję na okręgu jednostkowym: punkt wyznaczony przez obrót o α ma współrzędne (\cos\alpha,\sin\alpha). Kąt odmierzamy od dodatniej półosi x przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Dla 0°, 90°, 180°, 270° i 360° są to kolejno punkty (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1) i znów (1,0).

Stąd odczytujemy znaki oraz wartości sinusa i cosinusa. Tangens nie istnieje, gdy cosinus jest równy zero, a cotangens — gdy sinus jest równy zero: nie wolno dzielić przez zero. Znak X w tabeli oznacza właśnie brak wartości danej funkcji, a nie liczbę zero.

Tabela wartości

W tabeli zapis sinα oznacza sin α, cosα — cos α; tg i ctg to polskie skróty nazw tangens i cotangens. Dokładne ułamki i pierwiastki można przenosić do obliczeń bez utraty precyzji.

Przykład fizyczny: rozkład siły

Siła o wartości 10 N tworzy z dodatnią osią x kąt 30°. Jej rzut na oś x odpowiada przyprostokątnej przyległej do kąta, a rzut na y — przeciwległej:

F_x=10\cos30^\circ=5\sqrt3\,\mathrm{N}\approx8{,}66\,\mathrm{N},\qquad F_y=10\sin30^\circ=5\,\mathrm{N}.

Sprawdzenie: F_x^2+F_y^2=75+25=100\,\mathrm{N^2}=F^2. Gdy kąt tej samej siły wynosi 60°, składowe zamieniają się wartościami. Nie trzeba zapamiętywać reguły „poziomo zawsze cosinus”: zależy ona od tego, od której osi odmierzono kąt.

Sprawdź sam

Prędkość o wartości 12 m/s jest skierowana pod kątem 45° do poziomu. Jakie są jej składowe? Czy suma wartości składowych musi wynosić 12 m/s?