Dwa wykresy siły, dwie różne wielkości fizyczne

Rozwiązanie

Czytamy obie osie

Oś x wybieramy zgodnie ze zwrotem siły. Obie poziome linie pokazują stałą składową siły Fₓ = 10 N. Każde zacieniowane pole jest prostokątem. Jego wysokość odczytujemy z osi siły, a szerokość z drugiej osi. Podobny kształt nie wystarcza jednak do nadania polom tej samej jednostki.

Na wykresie A poziomo jest czas. Siła działa od t = 0 do t = 2 s, więc \Delta t=2\,\mathrm{s}. Pole prostokąta daje impuls siły w kierunku osi x:

F_x\Delta t=(10\,\mathrm{N})(2\,\mathrm{s})=20\,\mathrm{N\cdot s}.

Na wykresie B poziomo jest położenie. Ciało przesuwa się od x = 0 do x = 2 m, zatem \Delta x=2\,\mathrm{m}. Składowa siły jest zgodna z tym przemieszczeniem. Pole drugiego prostokąta daje pracę:

W=F_x\Delta x=(10\,\mathrm{N})(2\,\mathrm{m})=20\,\mathrm{N\cdot m}=20\,\mathrm{J}.

W obu rachunkach liczymy pole od poziomu Fₓ = 0. Nie dzielimy iloczynu przez dwa: siła ma pełną wartość przez cały pokazany przedział, a pole jest prostokątem, nie trójkątem.

Ta sama liczba nie jest tą samą wielkością

Impuls siły wypadkowej jest równy zmianie pędu ciała. Jeżeli wykres pokazuje tylko jedną z działających sił, do obliczenia całkowitej zmiany pędu trzeba uwzględnić również pozostałe siły. Praca opisuje przekaz energii przez działanie siły podczas przemieszczenia. Jednostki różnią się czasem i długością. Nie ma stałego uniwersalnego przelicznika między tymi wynikami.

Wynik

Pierwsze pole wynosi 20 N·s i jest impulsem siły. Drugie wynosi 20 N·m, czyli 20 J, i jest pracą wskazanej składowej siły. Równość liczb 20 jest przypadkowa; jednostki i sens fizyczny są inne. Nie można przeliczyć jednego wyniku na drugi bez dodatkowych informacji o ruchu.

Przykład pokazujący brakujący kontekst

Dla ciała 2 kg impuls 20 N·s zwiększa prędkość o 10 m/s, jeśli siła jest wypadkowa. Start od spoczynku dawałby przyrost energii 100 J, nie 20 J. Przy innym początkowym pędzie przyrost energii byłby jeszcze inny. Sam impuls nie określa drogi działania siły.

Policzmy także przemieszczenie w tym przykładzie. Dodatkowo zakładamy, że stała siła 10 N jest wypadkową, ciało o masie 2 kg startuje ze spoczynku i porusza się wzdłuż osi x. Przyspieszenie wynosi a=F_x/m=5\,\mathrm{m/s^2}. Przez 2 s ciało przemieszcza się o \Delta x=\frac{1}{2}a(\Delta t)^2=10\,\mathrm{m}. Praca wynosi więc W=F_x\Delta x=100\,\mathrm{J}. Ten ruch pasuje do wykresu A. Wykres B dotyczy odcinka 2 m, dlatego nie opisuje całego tego samego etapu. Czasu 2 s nie wolno zastępować przemieszczeniem 2 m.

Kontrola: siła 10 N może wykonać 20 J pracy na odcinku 2 m niezależnie od czasu trwania tego etapu, o ile pozostaje zgodna z przemieszczeniem. Różny czas da różny impuls. Najpierw podpisujemy osie i określamy układ, a dopiero potem nadajemy polu nazwę fizyczną.

Sprawdzamy jednostki w podstawowym zapisie SI

Impuls ma jednostkę \mathrm{N\,s}=\mathrm{kg\,m/s}, taką jak pęd. Praca ma jednostkę \mathrm{N\,m}=\mathrm{kg\,m^2/s^2}, taką jak energia. Ich iloraz ma jednostkę szybkości, a nie jest bezwymiarowym przelicznikiem. Dla stałej siły wzdłuż ruchu można zapisać W=FΔx oraz J=FΔt, zatem W/J=Δx/Δt. Pojawia się średnia prędkość na wskazanym etapie, której dwa osobne wykresy nie utożsamiają. To pokazuje dokładnie, jakiej dodatkowej informacji brakuje.

Powiązana teoria

Pole pod wykresem: przemieszczenie, impuls i przeniesiony ładunek

Dalsza lektura

Materiał referencyjny