Cyfry znaczące: ile cyfr naprawdę wynika z pomiaru?

Potrzebne wiadomości: Zapis dziesiętny, notacja wykładnicza i podstawowe działania.

Znaczenie zera zależy od miejsca

W zapisie 0,00420 pierwsze zera wskazują położenie przecinka. Cyframi znaczącymi są 4, 2 i ostatnie 0. Mamy trzy cyfry znaczące. Liczba 4200 bez dodatkowej informacji jest niejednoznaczna. Zapisy 4{,}2\cdot10^3 i 4{,}200\cdot10^3 jasno rozróżniają dwie i cztery cyfry.

Zaokrąglenie zostawiamy na koniec

W obliczeniach zachowujemy cyfry zapasowe. Przy mnożeniu i dzieleniu szkolna reguła ogranicza liczbę cyfr znaczących wyniku do najmniejszej liczby takich cyfr w danych pomiarowych. Przy dodawaniu ważne jest miejsce dziesiętne: suma 12,3 cm i 0,47 cm daje 12,77 cm, którą według tej reguły zapisujemy jako 12,8 cm.

Droga 2,40 m i czas 1,3 s dają v=2{,}40/1{,}3=1{,}846\ldots\,\mathrm{m/s}. Dwie cyfry znaczące czasu prowadzą do 1,8 m/s. Nie znaczy to, że sama liczba cyfr wyznaczyła pełną niepewność pomiaru. Potrzebujemy także informacji o przyrządzie, metodzie i rozrzucie wyników.

Liczby dokładne nie ograniczają wyniku w ten sposób. Dziesięć policzonych wahnięć to dokładna liczność, a nie pomiar z jedną cyfrą znaczącą. Podobnie dokładny przelicznik 100 cm na metr nie pogarsza precyzji zapisu. Mylenie liczności z odczytem przyrządu prowadzi do niepotrzebnego gubienia informacji.

Wyświetlacz kalkulatora nie zna jakości danych

Podzielenie dwóch liczb może dać wiele cyfr, ale nie wszystkie są uzasadnione informacją wejściową. Kalkulator dokładnie oblicza wynik dla wpisanych liczb; nie wie, czy masa została zmierzona z dokładnością do miligrama, czy oszacowana na oko. Zapis wyniku powinien odpowiadać jakości danych, a cyfry zapasowe służą w rachunku do ograniczania błędów zaokrągleń, nie do udawania lepszego pomiaru.

Cyfry znaczące to sposób zapisu, a nie pełna teoria niepewności. Reguły szkolne są użyteczne, gdy zadanie nie podaje dokładniejszych informacji. Jeśli znamy standardowe niepewności i model pomiaru, możemy wyznaczyć niepewność wyniku bez zgadywania jej z liczby cyfr. Nie należy mieszać tych dwóch sposobów opisu ani traktować ostatniej zapisanej cyfry jako gwarantowanej granicy błędu.

Przykład: zera, które niosą informację

W 0,003040 początkowe zera ustawiają przecinek. Cyfry 3,0,4,0 są znaczące: cztery. Zapis 3,040·10⁻³ zachowuje tę informację i ułatwia liczenie cyfr. Do dwóch cyfr otrzymujemy 3,0·10⁻³, czyli 0,0030. Usunięcie końcowego zera i napisanie 0,003 zostawiłoby jedną cyfrę, choć wartość liczby jako dokładnego obiektu matematycznego jest ta sama.

Dlaczego nie zaokrąglamy do 0,0031? Kolejną cyfrą po zachowanych 3 i 0 jest 4, więc według zwykłej reguły zaokrąglania nie zwiększamy ostatniej zachowanej cyfry. Przypadki dokładnej połowy mogą mieć różne uzgodnione konwencje, ale tutaj taki spór nie występuje. Warto jasno odróżnić liczenie cyfr znaczących od liczenia miejsc po przecinku: ten sam wynik ma ich różną liczbę w zależności od skali.

Przykład: suma nie stosuje reguły iloczynu

Długości 8,6 cm i 2,34 cm dają 10,94 cm przed zaokrągleniem. Pierwsza liczba sięga tylko dziesiątych centymetra, więc szkolny zapis sumy to 10,9 cm. Ma trzy cyfry znaczące, choć pierwszy składnik miał dwie. Przy dodawaniu istotne jest miejsce ostatniej cyfry, ponieważ składamy bezwzględne długości na tej samej skali.

Nie wolno najpierw skrócić 2,34 do 2,3, a potem zaokrąglić sumy w sposób, który prowadzi do innego wyniku. Zachowujemy dostępne cyfry aż do końca. Gdy w jednym obliczeniu występuje kilka etapów, zapisujemy wyniki pośrednie z zapasem i dopiero wynik końcowy dostosowujemy do danych. Przedwczesne zaokrąglenie może przesunąć końcową cyfrę, zwłaszcza przy odejmowaniu zbliżonych liczb.

Przykład: iloraz i dokładna liczność

Masa 17,8 g podzielona przez 6,2 cm³ daje 2,870967… g/cm³. Objętość ma dwie cyfry znaczące, więc szkolny wynik to 2,9 g/cm³. W SI zapis 2,9·10³ kg/m³ jasno zachowuje dwie cyfry. Samo 2900 byłoby niejednoznaczne, ponieważ końcowe zera bez komentarza mogą oznaczać różny poziom zapisu.

Czas dokładnie dziesięciu drgań 18,42 s daje okres 1,842 s. Liczba 10 jest policzoną licznością, nie pomiarem zapisanym z jedną cyfrą znaczącą. Nie wymusza więc wyniku 2 s. Tak samo dokładny przelicznik 100 cm/m nie obcina pomiaru do jednej cyfry. Ograniczenie płynie z danych pomiarowych, nie z samego wyglądu każdej liczby występującej we wzorze.

Co jeszcze trzeba wiedzieć o pomiarze?

Stoper wyświetlający setne sekundy może być obsługiwany przez człowieka, którego reakcja wnosi większy rozrzut niż działka wyświetlacza. Zapis 1,842 s jest wynikiem poprawnego dzielenia danych, lecz jego rzeczywista niepewność wymaga oceny metody. Sprawdź się: czy pomiar dziesięciu drgań zamiast jednego może pomóc? Tak, wspólna niepewność czasu startu i końca po podzieleniu przez 10 daje mniejszy wpływ na okres, o ile liczymy drgania poprawnie i zachowujemy ten sam model.

Gdy znamy niepewność, to ona porządkuje zapis

Załóżmy, że otrzymano długość 12,3456 mm i standardową niepewność 0,078 mm. Przy umowie dwóch cyfr niepewności zapisujemy x=12{,}346\,\mathrm{mm},\quad u(x)=0{,}078\,\mathrm{mm}: obie liczby kończą się na tym samym miejscu dziesiętnym. Przy przyjęciu jednej cyfry niepewności byłoby x=12,35 mm i u=0,08 mm. Konwencję należy podać i stosować spójnie. Niepewności nie odczytujemy z ostatniej cyfry po wykonaniu takiego zapisu.

Odejmowanie bliskich liczb może radykalnie zmniejszyć liczbę cyfr znaczących wyniku. Z 12,34 cm−12,31 cm otrzymujemy 0,03 cm, czyli jedną cyfrę znaczącą, chociaż oba odczyty miały po cztery. Reguła miejsc dziesiętnych działa tu rozsądniej od kopiowania liczby cyfr. Nie rozstrzyga jednak, czy pomiary były niezależne ani jaka jest standardowa niepewność ich różnicy.

Cyfry zapasowe zachowujemy w obliczeniach, a przy udostępnieniu wyniku podajemy też jednostkę i sens użytego ±. Zapis „x±u” bez wyjaśnienia bywa mylony z twardą granicą albo przedziałem ufności. Sama liczba miejsc dziesiętnych nie ustala żadnej z tych interpretacji.

Zadania do tego tematu

• Które zera w liczbie 0,003040 są znaczące?
• Dodawanie odcinków zmierzonych z różną rozdzielczością
• Gęstość z kalkulatora zbyt długa o kilka cyfr
• Dziesięć drgań nie ogranicza okresu do jednej cyfry

Dalsza lektura

Materiał referencyjny