Czy sam wymiar wyznaczy energię sprężyny?

Rozwiązanie

Porównujemy wykładniki podstawowych wymiarów

Stała k ma N/m=kg/s², czyli MT⁻². Wydłużenie ma L. Prawa strona Ckᵃxᵇ ma MᵃT⁻²ᵃLᵇ, jeżeli C jest bezwymiarowe. Energia ma ML²T⁻², więc a=1,b=2.

Wymiary wyznaczają tylko postać

Otrzymujemy E=Ckx². Nie wiadomo jeszcze, czy C wynosi 1,1/2 czy inną liczbę. Wymiar każdej z tych wersji byłby poprawny. Potrzebujemy prawa siły i definicji pracy.

Wynik

Prawa strona ma wymiar M^a T^{-2a}L^b. Porównanie daje a=1 oraz b=2. Wiemy więc tylko, że E=Ckx². Dla liniowej sprężyny średnia siła podczas rozciągania od zera do x wynosi kx/2, skąd E=kx²/2. Ten ostatni krok wykorzystuje prawo siły i definicję pracy, nie same wymiary.

Rachunek pracy liniowej sprężyny

Podczas rozciągania od 0 do x siła rośnie liniowo od 0 do kx. Średnia wynosi kx/2, więc praca to(kx/2)x=kx²/2. Równoważnie jest polem trójkąta pod wykresem F(x). Czynnik 1/2 wynika z tego konkretnego kształtu zależności.

Wariant: gdyby siła była stała i równa kx na całej drodze x, praca wyniosłaby kx². Wymiary nadal byłyby poprawne, ale model oddziaływania inny. To pokazuje granicę metody: pomaga odrzucić zły wzór, nie zastępuje fizycznego wyprowadzenia dobrego.

Współczynnik 1/2 można zobaczyć na wykresie

Przy k=100 N/m i x=0,10 m końcowa siła ma wartość 10 N. Prostokąt o bokach 0,10 m i 10 N miałby pole 1 J, ale siła narasta od zera, więc właściwe pole trójkąta to 0,50 J. Dla rozciągania od x₁ do x₂ praca siły zewnętrznej w ruchu quasistatycznym wynosi W=\tfrac12 k(x_2^2-x_1^2), a nie k(x₂−x₁)²/2. Ten drugi zapis zgadza się tylko w szczególnym przypadku x₁=0. Fizyczny początek przedziału jest częścią modelu.

Powiązana teoria

Analiza wymiarowa: jak odrzucić zły wzór, zanim podstawimy liczby?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny