Który z trzech kandydatów może opisywać drogę hamowania?

Rozwiązanie

Podstawiamy wymiary zamiast liczb

Szybkość ma wymiar L/T, opóźnienie L/T². Iloraz v/a daje T, więc opisuje skalę czasu. Wyrażenie v²/a daje L. Iloczyn av² ma L³/T⁴. Tylko drugi kandydat może być drogą.

Co jeszcze pozostaje nieznane?

Wymiar nie ustala bezwymiarowego współczynnika. Zarówno v²/a, jak v²/(2a) mają wymiar długości. Do wyboru właściwego potrzebny jest model ruchu i warunki początkowe oraz końcowe.

Wynik

Iloraz v/a ma wymiar czasu. Wyrażenie v^2/a ma wymiar L, a av² wymiar L^3/T^4. Tylko drugi kandydat przechodzi kontrolę. Analiza nie ustala czynnika 1/2 właściwego dla stałego opóźnienia i końcowej prędkości zerowej. Nie potwierdza też, że rzeczywiste opóźnienie było stałe.

Wyprowadzenie współczynnika dla stałego opóźnienia

Przy hamowaniu od v do zera czas wynosi v/a. Średnia szybkość w tym modelu jest v/2, więc droga wynosi(v/2)(v/a)=v²/(2a). Dopiero liniowa zmiana szybkości uzasadniła czynnik 1/2.

Kontrola granic: przy v=0 droga znika, przy dwukrotnie większym v rośnie czterokrotnie. Przy bardzo małym a droga rośnie, zgodnie z łagodniejszym hamowaniem. Te kontrole uzupełniają wymiary, ale nadal wymagają stałości opóźnienia; sam poprawny wymiar nie dowodzi, że rzeczywisty przebieg ją spełnia.

Zmiana jednostki ujawnia błędną potęgę

Dla v=20 m/s i a=5 m/s² poprawny model stałego hamowania daje 40 m. Zapiszmy te same dane w cm: v=2000 cm/s, a=500 cm/s². Wynik v^2/(2a)=4000\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{m} jest ten sam. Wyrażenie v/a dałoby 4 s w obu zapisach, czyli czas, niezależnie od próby nazwania go drogą. Zgodność wymiarowa chroni sens wyniku także wtedy, gdy liczby wyglądają wiarygodnie.

Powiązana teoria

Analiza wymiarowa: jak odrzucić zły wzór, zanim podstawimy liczby?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny