Stała czasowa w wykładniczym zaniku

Rozwiązanie

Argument funkcji wykładniczej musi być bezwymiarowy

W exp(−bt) iloczyn b i czasu powinien być liczbą bez jednostki. Skoro t ma wymiar T, b ma T⁻¹ i jednostkę s⁻¹. Nie wolno traktować b jako samej liczby 0,25 bez podania jednostki czasu.

Warunek spadku do 1/e

A/A₀=e⁻¹ oznacza bt=1. Dla b=0,25 s⁻¹ otrzymujemy t=1/b=4 s. Dodatni czas i ujemny wykładnik są zgodne z zanikiem, nie wzrostem sygnału.

Wynik

Iloczyn bt jest bezwymiarowy, więc b ma wymiar odwrotności czasu i jednostkę s⁻¹. Warunek bt=1 daje t=1/b=4 s. To stała czasowa, nie czas połowicznego zaniku. Dla połowy początkowej amplitudy w liczniku pojawiłoby się ln 2 zamiast jedności.

Kontrola przez inne kryterium

Po 4 s stosunek amplitud wynosi e⁻¹≈0,368. Nie jest to połowa. Czas połowiczny spełnia e⁻ᵇᵗ=1/2, więc t=ln 2/b≈2,77 s. Oba czasy mają ten sam wymiar, ale różnią się bezwymiarowym współczynnikiem wynikającym z pytania.

Wariant: po 8 s sygnał ma A₀/e², około 0,135A₀. Każdy kolejny przedział 4 s mnoży amplitudę przez 1/e, a nie odejmuje stałą część A₀. Zanik wykładniczy nie jest liniowym zmniejszaniem do zera po skończonej liczbie równych kroków.

Ten sam zanik opisany w minutach

Wartość b=0,25 s⁻¹ jest równa 15 min⁻¹, bo 0{,}25\,\mathrm{s^{-1}}\cdot60\,\mathrm{s/min}=15\,\mathrm{min^{-1}}. Po czasie 4 s=1/15 min iloczyn bt w obu zapisach wynosi 1. Nie wpisujemy do jednego wykładnika b w s⁻¹ i t w minutach bez przeliczenia. Dla logarytmicznego wyznaczania czasu stosujemy t=-\ln(A/A_0)/b; argumentem ln jest bezwymiarowy iloraz, a jednostkę czasu nadaje odwrotność b.

Powiązana teoria

Analiza wymiarowa: jak odrzucić zły wzór, zanim podstawimy liczby?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny