Zdolność skupiająca i soczewki stykające się

Potrzebne wiadomości: Ogniskowa soczewki, odwrotność liczby i znaki wielkości.

Dlaczego mocniejsza soczewka ma krótszą ogniskową?

Dwie lupy mogą skupiać równoległą wiązkę w różnych odległościach. Ta, która silniej zmienia kierunek promieni bliskich osi, doprowadza je do przecięcia wcześniej. Ma krótszą dodatnią ogniskową. Wygodną miarą tego działania jest odwrotność ogniskowej, czyli zdolność skupiająca: D=1/f. Ogniskową wstawiamy w metrach; jednostką D jest m⁻¹, nazywana dioptrią.

Soczewce skupiającej w powietrzu przypisujemy dodatnią ogniskową, a rozpraszającej ujemną. W tym drugim przypadku równoległe promienie po przejściu rozbiegają się; przecinają się dopiero ich wsteczne przedłużenia. Znak nie oznacza „ujemnej długości kawałka szkła”, tylko rodzaj działania optycznego. Soczewka f = +0,25 m ma +4 dioptrie, a f = −0,50 m ma −2 dioptrie.

Co znaczy przybliżenie cienkiej soczewki?

Pomijamy grubość w porównaniu z odległościami istotnymi w zadaniu i zastępujemy rzeczywiste załamania zmianą kierunku w jednej płaszczyźnie. Rozpatrujemy promienie bliskie osi i niewielkie kąty, tak aby tan θ ≈ θ w radianach. To przybliżenie paraksjalne. Nie opisze dokładnie silnie ukośnych promieni przy brzegu lupy ani wszystkich wad obrazu. Rzeczywisty obiektyw wymaga starannie dobranych, często odsuniętych soczewek.

Skąd dodawanie odwrotności, a nie ogniskowych?

Weźmy promień biegnący równolegle do osi na wysokości h. Skupiająca soczewka odchyla go ku osi o mały kąt w przybliżeniu h/f. Przyjmijmy dodatnie kąty w górę: zmiana kierunku wynosi wtedy −h/f. Druga soczewka ustawiona w kontakcie działa na tej samej wysokości, zatem dodaje −h/f₂. Łączna zmiana wynosi −h(1/f₁ + 1/f₂). Porównanie z działaniem jednej soczewki zastępczej daje:

\frac1f=\frac1{f_1}+\frac1{f_2},\qquad D=D_1+D_2.

Wyprowadzenie pokazuje warunek ważności: między soczewkami promień nie zdążył istotnie zmienić wysokości. Po ich rozsunięciu druga soczewka może działać na innej wysokości i zwykłe dodawanie D przestaje być wystarczające. Także zmiana ośrodka otaczającego soczewki wymaga uwzględnienia nowych ogniskowych.

Przykład 1: częściowe zniesienie działania

Łączymy soczewkę +5 dioptrii z soczewką −2 dioptrie. Otrzymujemy D = +3 dioptrie i f = 1/3 m ≈ +33,3 cm. Pierwsza soczewka sama miała f₁ = 20 cm. Dołączony element rozpraszający osłabił skupianie, więc ognisko odsunęło się. Dodanie +20 cm i −50 cm dałoby −30 cm, a więc nawet błędny rodzaj układu. Warto najpierw przewidzieć znak, a potem sprawdzać rachunek.

Nie wolno też potraktować 1/33,3 cm jako 0,030 dioptrii. Odwrotność centymetra nie jest odwrotnością metra. Bezpieczna kolejność to: ogniskowe na metry, odwrotności ze znakami, suma, a na końcu odwrotność sumy.

Przykład 2: gdzie powstanie obraz?

Przed układem +3 dioptrii ustawiamy przedmiot w odległości x = 0,50 m. Dla rzeczywistego przedmiotu i rzeczywistego obrazu używamy dodatnich odległości, a równanie ma postać 1/f=1/x+1/y. Stąd 3 = 2 + 1/y, czyli y = 1 m. Obraz jest rzeczywisty i można go uzyskać na ekranie. Powiększenie poprzeczne wynosi m = −y/x = −2: jest dwukrotnie większy i odwrócony.

Przesuńmy przedmiot bliżej, do x = 0,20 m. Teraz 1/y = 3 − 5 = −2 m⁻¹, więc y = −0,50 m, a m = +2,5. Ujemne y wskazuje obraz pozorny po stronie przedmiotu. Nie uzyskamy go na ekranie za układem, choć może być widoczny podczas patrzenia przez soczewki. Ten sam układ daje różne rodzaje obrazu zależnie od położenia przedmiotu.

Co zmienia ogniskową pojedynczej soczewki?

Porównajmy cienkie, obustronnie wypukłe soczewki z tego samego szkła w powietrzu. Mocniej zakrzywione powierzchnie mają mniejsze promienie krzywizny. Promienie światła biegnące blisko osi są wtedy odchylane silniej: dodatnia zdolność skupiająca rośnie, a dodatnia ogniskowa maleje. Chodzi o krzywiznę powierzchni, nie o samą średnicę soczewki.

Przy zachowanym kształcie liczy się również współczynnik załamania szkła względem otoczenia. Większy kontrast współczynników daje w tym porównaniu silniejsze skupianie. Zanurzenie tej samej szklanej soczewki w ośrodku o współczynniku bliższym współczynnikowi szkła osłabia skupianie. Gdy współczynniki są równe, na powierzchniach nie następuje załamanie i soczewka nie skupia wiązki. Nie jest więc prawdą, że każda wypukła soczewka zawsze skupia, niezależnie od otoczenia.

Przykład porównawczy: Dla cienkiej symetrycznej soczewki dwuwypukłej w powietrzu model paraksjalny daje D=2(n-1)/R, gdzie R jest dodatnią wartością promienia krzywizny każdej powierzchni. Dla n = 1,50 i R = 0,20 m: D = 2 · 0,50/(0,20 m) = 5 m⁻¹, więc f = 0,20 m. Dwukrotnie mniejsze R daje D = 10 m⁻¹ i f = 0,10 m. Przy niezmienionym R, lecz n = 1,60, otrzymujemy D = 6 m⁻¹ i f ≈ 0,167 m. Wniosek jakościowy nie wymaga zapamiętania tego pomocniczego wzoru.

To są porównania przy stałych pozostałych warunkach. Samo hasło „większa krzywizna” bez określenia rodzaju soczewki, jej materiału i otoczenia nie wystarcza do przewidzenia ogniskowej dowolnego układu.

Co oznacza zero dioptrii?

Soczewki +5 i −5 dioptrii w idealnym kontakcie mają D = 0. Padająca wiązka równoległa pozostaje równoległa. Nie oznacza to ogniskowej równej zero: zerowa jest jej odwrotność. Ognisko nie leży w skończonej odległości. Podobnie +4 i −6 dioptrii dają D = −2 dioptrie, czyli układ rozpraszający z f = −0,50 m.

Skąd w równaniu soczewki bierze się ujemna odległość obrazu?

Prześledźmy dwa promienie od wierzchołka przedmiotu o wysokości h = 1 cm. Wprowadźmy współrzędną z wzdłuż osi: soczewka leży przy z = 0, przedmiot przy z = −x, a dodatni kierunek prowadzi za soczewkę. Dla małych kątów promień przechodzący przez jej środek biegnie po prostej o wysokości Hśr(z) = −hz/x. Promień padający równolegle do osi wychodzi z wysokości h i zbliża się do osi zgodnie z Hrów(z) = h − Dhz, gdzie D = 1/f.

Obraz znajduje się tam, gdzie obie wysokości są równe. Po podzieleniu przez niezerowe h otrzymujemy −z/x = 1 − Dz, czyli:

z=\frac{1}{D-1/x}=y,\qquad\frac{H_{\mathrm{obrazu}}}{h}=-\frac{y}{x}.

Dla D = 3 dpt oraz x = 0,50 m promienie przecinają się przy z = +1,00 m, na wysokości −2 cm. Można w tym miejscu umieścić ekran i otrzymać obraz odwrócony. Dla x = 0,20 m wychodzące promienie rozchodzą się. Ich przedłużenia wstecz przecinają się przy z = −0,50 m, na wysokości +2,5 cm. Ujemny wynik oznacza właśnie to przecięcie przed soczewką. Światło po przejściu soczewki nie zawraca tam: obraz pozorny opisuje kierunki, z których wiązka zdaje się nadchodzić.

Gdy x = f = 1/3 m, obie proste wychodzące mają jednakowe nachylenie i są równoległe. Mianownik równania wynosi wtedy zero; nie ma obrazu w skończonej odległości. Na rysunku celowo powiększono skalę wysokości względem skali odległości. Odczytujemy położenia i przecięcia, lecz nie mierzymy kątów kątomierzem.

Zadania do tego tematu

• Soczewki — zadanie: zdolność układu skupiająco-rozpraszającego
• Soczewki — zadanie: zerowa zdolność skupiająca

Dalsza lektura

Materiał referencyjny