Soczewki — zadanie: zerowa zdolność skupiająca

Rozwiązanie

Równe wartości nie oznaczają dwóch dodatnich soczewek

W ogniskowych podano znaki: +20 cm i −20 cm. Pierwsza soczewka skupia, druga rozprasza. Trzeba zamienić obie długości na metry ze znakami, a następnie policzyć ich odwrotności. Błąd polegający na pominięciu minusa dałby +10 dioptrii, zupełnie inne działanie.

Przed rachunkiem przewidujemy zniesienie dwóch jednakowo silnych, przeciwnych działań w tym idealnym modelu. Nie twierdzimy, że dwa rzeczywiste kawałki szkła będą idealnie przezroczyste albo pozbawione wszystkich wad optycznych. Rozpatrujemy zdolność skupiającą promieni bliskich osi.

Wynik dla pary początkowej

Po zamianie ogniskowych na metry dostajemy D₁ = 1/0,20 = +5 dioptrii oraz D₂ = 1/(−0,20) = −5 dioptrii. Suma wynosi D = 0.

Odpowiedź: zero dioptrii; wiązka nie zostanie skupiona w skończonej odległości.

W idealnym modelu kontaktowym działanie obu soczewek się znosi i wiązka równoległa pozostaje równoległa. Nie oznacza to f = 0. To odwrotność ogniskowej jest zerowa, więc ogniskowa dąży do nieskończoności. Rozsunięcie soczewek albo uwzględnienie ich grubości zmieniłoby założenia i wymagałoby ponownego opisu całego układu.

Zmiana jednego elementu

Dla f₂ = −0,10 m zdolność drugiej soczewki wynosi −10 dioptrii. Z pierwszą +5 dioptrii daje D = −5 dioptrii i f = −0,20 m. Wzmocniliśmy rozpraszanie, więc ujemny wynik ma sens.

Zero dioptrii było granicą pomiędzy skupianiem i rozpraszaniem. Przechodząc przez tę granicę, nie należy rysować ogniska przesuwającego się gładko przez środek soczewki. To odwrotność ogniskowej przechodzi przez zero; samo ognisko odsuwa się do nieskończoności i zmienia stronę w opisie znaku.

Dlaczego trzeba traktować warunek „stykają się” dosłownie?

Rozsuńmy soczewki +5 dpt i −5 dpt na odległość 0,10 m w powietrzu. Jest to nowy wariant, poza warunkiem styku z zadania. Aby zobaczyć różnicę, wystarczy śledzić jeden promień padający równolegle do osi na wysokości 1 cm. W przybliżeniu małych kątów soczewka o mocy D zmienia nachylenie promienia o −Dh. Nachylenie oznacza tutaj zmianę wysokości na metr drogi wzdłuż osi.

Za pierwszą soczewką +5 dpt wysokość maleje o 5 cm na metr. Na odcinku 0,10 m spadnie więc o 0,5 cm. Promień trafia w drugą soczewkę na wysokości zaledwie 0,5 cm. Soczewka −5 dpt zwiększa jego nachylenie o 2,5 cm na metr, pozostawiając łącznie −2,5 cm na metr. Do zejścia z wysokości 0,5 cm do osi potrzeba jeszcze 0,20 m.

Odwróćmy kolejność. Po pierwszej soczewce −5 dpt promień rośnie o 5 cm na metr i przy drugiej ma wysokość 1,5 cm. Soczewka +5 dpt zmniejsza nachylenie o 7,5 cm na metr. Wynikowe nachylenie ponownie wynosi −2,5 cm na metr, lecz z wysokości 1,5 cm promień dojdzie do osi dopiero po 0,60 m.

W obu ustawieniach mamy te same moce i ten sam odstęp, a odległość przecięcia osi mierzona od drugiej soczewki jest różna. Nie nazywamy jej bez dodatkowej analizy ogniskową całego grubszego układu: położenie jego płaszczyzn głównych może się zmienić. Przy zerowym odstępie obie soczewki działają na promień na tej samej wysokości i zmiany nachylenia dokładnie się znoszą. Właśnie dlatego suma +5 − 5 = 0 wystarcza w pierwotnym zadaniu.

Powiązana teoria

Zdolność skupiająca i soczewki stykające się

Dalsza lektura

Materiał referencyjny