Soczewki — zadanie: zdolność układu skupiająco-rozpraszającego

Rozwiązanie

Najpierw ustal, co można dodawać

Warunki cienkich soczewek, kontaktu, wspólnej osi i powietrza pozwalają dodać zdolności skupiające. Nie dodajemy ogniskowych. Pierwsza soczewka kieruje promienie ku osi, druga częściowo znosi to odchylenie. Ponieważ 5 jest większe od 2, już przed obliczeniem oczekujemy dodatniej zdolności układu.

Dioptria jest odwrotnością metra. Po zsumowaniu dwóch wielkości w tej samej jednostce odwrócimy wynik, otrzymując metry. Znak zachowujemy na każdym etapie, także przy odwracaniu liczby.

Układ z treści zadania

Zdolność układu wynosi D = D₁ + D₂ = 5 − 2 = +3 dioptrie. Ogniskowa jest jej odwrotnością: f = 1/3 m ≈ +0,333 m.

Odpowiedź: +3 dioptrie oraz ogniskowa około +33,3 cm.

Układ nadal skupia, ale słabiej niż sama soczewka +5 dioptrii, której ogniskowa wynosiła 20 cm. Dłuższa dodatnia ogniskowa jest więc zgodna z oczekiwanym działaniem dołączonej soczewki rozpraszającej. Dodanie ogniskowych +20 cm i −50 cm prowadziłoby do innego, niepoprawnego wyniku; sumowaniu podlegają tu ich odwrotności.

Silniejsza soczewka rozpraszająca

Po zamianie D₂ na −7 dioptrii suma wynosi −2 dioptrie. Ogniskowa f = −0,50 m. Układ jest teraz rozpraszający: równoległe promienie po przejściu nie przetną się za nim, lecz ich wsteczne przedłużenia wskażą ognisko pozorne.

Porównanie +3 i −2 dioptrii jest kontrolą fizyczną, nie tylko zmianą znaku w kalkulatorze. W pierwszym przypadku ekran za układem może znaleźć się w ognisku dla odległego źródła; w drugim nie uzyskamy na takim ekranie punktu skupienia wiązki równoległej. Rozsunięcie soczewek wymagałoby nowego modelu zamiast bezwarunkowego zachowania tej sumy.

Krzywizna i materiał: zmieniaj jeden warunek

Soczewka B silniej odchyla ku osi promienie biegnące blisko niej, więc skupia je bliżej i ma krótszą dodatnią ogniskową niż A. Jej dodatnia zdolność skupiająca jest większa. W drugim porównaniu geometria pozostaje stała, natomiast zwiększa się różnica współczynników załamania szkła i powietrza. Skupianie również jest silniejsze, a dodatnia ogniskowa krótsza. Nie wyciągamy tego wniosku z samego kształtu bez wskazania otoczenia: szkło o takim samym n jak ośrodek otaczający nie załamuje światła na granicy.

Osobny przykład: czy soczewka wypukła zawsze skupia?

Wynik +3 dpt dla pary z zadania pozostaje poprawny dla podanych mocy w określonych warunkach. Moc nie jest jednak cechą samego kształtu. Rozpatrzmy osobno cienką, symetryczną soczewkę ze szkła o nₛ = 1,50, o promieniach krzywizny +0,20 m i −0,20 m. Zanurzamy ją w jednorodnym ośrodku o współczynniku nₒ po obu stronach. W przybliżeniu małych kątów wzór na jej zdolność skupiającą przyjmuje postać:

D=\left(\frac{n_s}{n_o}-1\right)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)=10\left(\frac{1{,}50}{n_o}-1\right)\ \mathrm{m}^{-1}.

W powietrzu otrzymujemy D = +5 dpt i f = 0,20 m. W wodzie o nₒ = 1,33 jest to już tylko D ≈ +1,278 dpt, czyli f ≈ 0,782 m. Przy nₒ = 1,50 zanika kontrast optyczny: w tym modelu powierzchnie nie zmieniają kierunku promienia i D = 0. Przy nₒ = 1,60 ta sama geometrycznie wypukła soczewka daje D = −0,625 dpt oraz f = −1,60 m, a więc rozprasza.

To wyjaśnia, dlaczego stwierdzenie „większy współczynnik daje większą moc” wymaga dopowiedzenia, którego materiału dotyczy zmiana. Zwiększenie n szkła przy ustalonym otoczeniu i zwiększenie n otoczenia przy ustalonym szkle działają przeciwnie. Nie przenosimy powyższych wartości automatycznie na pierwotną parę soczewek: nie znamy jej materiałów i krzywizn. Podane w zadaniu moce dodajemy w warunkach, dla których je określono.

Powiązana teoria

Zdolność skupiająca i soczewki stykające się

Dalsza lektura

Materiał referencyjny