Załamanie światła i całkowite wewnętrzne odbicie

Potrzebne wiadomości: Prędkość i długość fali, sinus kąta oraz normalna do powierzchni.

Dlaczego promień zmienia kierunek?

Patrząc na łyżeczkę zanurzoną w szklance, widzimy jej przesuniętą część pod wodą. Metal się nie wygina. Do oka dociera światło, które zmienia kierunek na granicy wody i powietrza, a my odtwarzamy jego drogę tak, jakby biegło po prostej. Aby przewidzieć to przesunięcie, potrzebujemy modelu promienia i własności obu ośrodków.

Promień wskazuje kierunek rozchodzenia się fali w rozpatrywanym jednorodnym, izotropowym ośrodku. Współczynnik załamania definiujemy jako n=c/v, gdzie c jest prędkością światła w próżni, a v prędkością fazową w materiale. Dla szkła opisanego n = 1,5 otrzymujemy v ≈ 2 · 10⁸ m/s. Wartość n dotyczy określonej długości fali i warunków. Różne barwy mogą mieć różne n — to podstawa rozszczepienia światła.

Najpierw normalna, dopiero potem kąt

W punkcie padania rysujemy prostą prostopadłą do powierzchni, czyli normalną. Kąt α mierzymy pomiędzy normalną a promieniem padającym; kąt β pomiędzy normalną a promieniem załamanym. Nie mierzymy ich od powierzchni. Promień padający, załamany i normalna leżą w jednej płaszczyźnie.

Prawo załamania ma postać n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta. Skąd sinusy? Można śledzić czoło fali padającej ukośnie. Jedna jego część wchodzi w nowy ośrodek wcześniej i biegnie tam z inną prędkością. Po tym samym czasie porównujemy drogi v₁Δt i v₂Δt. W konstrukcji czół fal są to boki dwóch trójkątów prostokątnych o wspólnej przeciwprostokątnej. Stosunek sinusów wynosi zatem v₁/v₂, czyli n₂/n₁. Czoło się obraca, a wraz z nim jego normalny kierunek propagacji.

Przykład: oblicz kąt i sprawdź go na szkicu

Światło przechodzi z powietrza (n₁ = 1) do szkła (n₂ = 1,5), padając pod kątem 45°. Najpierw izolujemy sinus, a dopiero potem szukamy kąta:

\sin\beta=\frac{1}{1{,}5}\sin45^\circ\approx0{,}4714,\qquad\beta\approx28{,}13^\circ.

Wynik 0,4714 nie jest kątem w stopniach. W kalkulatorze potrzebna jest funkcja odwrotna do sinusa, z wynikiem w stopniach. Sprawdzamy jakościowo: β jest mniejsze niż 45°, zgodnie ze zbliżeniem promienia do normalnej. Przy padaniu prostopadłym α = 0 otrzymalibyśmy β = 0: prędkość mogłaby się zmienić bez zmiany kierunku.

Co zostaje takie samo: częstotliwość czy długość fali?

Dla nieruchomej granicy częstotliwość przechodzącej fali pozostaje ta sama. Inaczej drgania po obu stronach granicy traciłyby wspólny rytm. Zależność v = λf mówi więc, że zmienia się długość fali. Dla fali o długości 600 nm w próżni szkło n = 1,5 daje λ = 400 nm. Po wyjściu z powrotem do powietrza długość znów jest bliska 600 nm. Nie oznacza to trwałej zamiany czerwonego światła w światło o innej częstotliwości.

Granica, przez którą światło nie wychodzi

Odwróćmy przejście: szkło → powietrze. Promień odchyla się od normalnej. Zwiększając kąt padania, dochodzimy do sytuacji granicznej β = 90°. Prawo załamania daje \sin\alpha_g=n_2/n_1. Kąt graniczny istnieje tylko dla n₁ > n₂. Dla 1,5 i 1 wynosi około 41,81°. Przy α większym od tej wartości nie ma propagującego promienia załamanego: w idealnym opisie przezroczystej granicy zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Równość α = αg jest samą granicą, nie przypadkiem α > αg.

Porównajmy szkło otoczone wodą o n = 1,33. Teraz αg = arcsin(1,33/1,5) ≈ 62,46°. Promień padający pod 50° odbiłby się całkowicie na granicy szkło–powietrze, ale może przejść ze szkła do wody. Zmiana otoczenia zmienia warunki zjawiska; sam fakt, że promień biegnie w szkle, nie wystarcza.

Dlaczego światłowód ma rdzeń i płaszcz?

W światłowodzie światło biegnie przede wszystkim w rdzeniu otoczonym płaszczem. W najprostszym modelu rdzeń ma większy współczynnik załamania niż płaszcz: nᵣ > nₚ. Nie wystarczy więc, że włókno jest przezroczyste. O prowadzeniu promienia decydują oba materiały oraz kąt, pod którym promień wewnątrz rdzenia pada na ich granicę.

Na bocznej powierzchni włókna rysujemy normalną. Jeśli kąt padania α przekracza kąt graniczny, promień odbija się z powrotem do rdzenia. Przy następnej granicy sytuacja się powtarza. Kąt odbicia jest równy kątowi padania; oba mierzymy od normalnej. Na zwykłej granicy może jednocześnie wystąpić odbicie i załamanie, natomiast przy całkowitym wewnętrznym odbiciu w tym idealnym modelu nie ma propagującego promienia załamanego w płaszczu.

W prostym włóknie promień tworzący kąt θ z osią ma przy bocznej granicy kąt α = 90° − θ. Tych kątów nie wolno zamieniać. Dla nᵣ = 1,50 i nₚ = 1,40 otrzymujemy sin αg = 1,40/1,50, a więc αg ≈ 68,96°. Promień biegnący wewnątrz pod 15° do osi pada pod 75° do normalnej. Ponieważ 75° > 68,96°, może być prowadzony przez kolejne całkowite odbicia.

Płaszcz zapewnia kontrolowaną granicę optyczną, niezależną od przypadkowego kontaktu rdzenia z otoczeniem. Silne zgięcie może zmienić kąty padania i zwiększyć straty. W prawdziwym światłowodzie występują też pochłanianie i rozpraszanie; opis odbić nie oznacza transmisji bez strat na dowolną odległość. Falowy opis światłowodu jest dokładniejszy od tego szkolnego szkicu.

Rozszerzenie: pod jakim kątem wprowadzić światło do włókna?

Dotychczasowy kąt 15° był określony wewnątrz rdzenia. W doświadczeniu ustawiamy jednak wiązkę przed wejściem do włókna. Rozpatrzmy proste włókno o płaskim czole prostopadłym do osi oraz promień leżący w płaszczyźnie zawierającej tę oś. Kąt wejścia θ₀ w otoczeniu o współczynniku n₀ i kąt θ w rdzeniu wiąże prawo załamania: n_0\sin\theta_0=n_r\sin\theta.

Przy bocznej granicy potrzebujemy α > αg. Ponieważ α = 90° − θ, warunek ten można zapisać jako nᵣ cos θ > nₚ. Po podniesieniu dodatnich wielkości do kwadratu i użyciu sin² θ + cos² θ = 1 otrzymujemy:

n_0\sin\theta_0\lt \sqrt{n_r^2-n_p^2}.

Prawa strona jest w tym modelu aperturą numeryczną włókna. Dla nᵣ = 1,50 i nₚ = 1,40 wynosi √0,29 ≈ 0,5385. W powietrzu n₀ = 1 daje to graniczny kąt wejścia około 32,58°. Kąty mniejsze spełniają warunek całkowitych odbić; równość odpowiada przypadkowi granicznemu. Po zwiększeniu nₚ do 1,48 kąt maleje do około 14,13°. Zmiana materiału płaszcza zmienia więc także zakres kierunków wiązki, którą można wprowadzić z zewnątrz.

W tym przykładzie pierwiastek jest mniejszy od n₀. Gdyby formalnie otrzymać większy iloraz, nie wolno obliczać arcusa sinusa z liczby większej od jedności: samo wejściowe ograniczenie sin θ₀ ≤ 1 trzeba wtedy uwzględnić osobno. Jest to model promieni południkowych prostego włókna, bez strat i bez opisu modów falowych; nie wyznacza sprawności rzeczywistego sprzężenia źródła ze światłowodem.

Zadania do tego tematu

• Załamanie — zadanie: kierunek i długość fali w szkle
• Całkowite odbicie — zadanie: czy światło wyjdzie ze szkła?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny