Polaryzacja światła i prawo Malusa

Potrzebne wiadomości: Natężenie fali, cosinus kąta i pole elektryczne fali poprzecznej.

Jaki kierunek może mieć światło?

Kierunek rozchodzenia się fali to nie to samo co kierunek drgań pola. W fali elektromagnetycznej w rozpatrywanym jednorodnym ośrodku pole elektryczne drga poprzecznie do kierunku propagacji. Światło liniowo spolaryzowane ma ustalony kierunek tych drgań w płaszczyźnie prostopadłej do wiązki. Pole zmienia zwrot w czasie, ale pozostaje na tej samej osi.

W świetle całkowicie niespolaryzowanym nie ma wyróżnionej stałej osi polaryzacji w uśrednionym opisie. Nie znaczy to, że fala raz jest poprzeczna, a raz podłużna. Zmienia się orientacja drgań poprzecznych. Polaryzator liniowy przepuszcza składową pola zgodną ze swoją osią transmisji, tłumiąc składową prostopadłą.

Dla porównania dźwięk w powietrzu jest falą podłużną: drgania cząsteczek zachodzą wzdłuż kierunku rozchodzenia się zaburzenia. Nie możemy wybrać dwóch poprzecznych kierunków tych drgań tak jak dla światła. Opisana polaryzacja kierunku drgań jest własnością fal poprzecznych; nie utożsamiamy jej ze zmianą kierunku biegu wiązki.

Dlaczego w prawie Malusa jest kwadrat?

Jeśli padające światło jest już liniowo spolaryzowane, jego amplitudę E₀ rozkładamy na składowe względem osi filtru. Dla kąta θ składowa przepuszczana wynosi E₀cos θ. Natężenie wiązki, czyli średnia moc przypadająca na jednostkę powierzchni, jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Dlatego:

I=I_{\mathrm{we}}\cos^2\theta.

I podajemy tutaj w W/m²; nie jest to natężenie prądu mierzone w amperach. Dla θ = 0 filtr idealny nie osłabia już właściwie spolaryzowanej wiązki. Dla 90° wygasza ją, a dla 45° przepuszcza połowę natężenia. Sama amplituda spada wtedy do 1/√2, nie do połowy. To rozróżnienie wyjaśnia, czemu użycie samego cos θ daje błędną energię.

Skąd połowa dla światła niespolaryzowanego?

Nie możemy wstawić jednego ustalonego θ, bo takiej osi wejściowej nie ma. Uśredniamy wkłady różnych orientacji. W równomiernym rozkładzie średnia wartość cos²θ wynosi 1/2. Równoważnie: dwie wzajemnie prostopadłe składowe niosą średnio po połowie natężenia, a idealny filtr przepuszcza jedną z nich. Za pierwszym filtrem otrzymujemy I₁ = I₀/2 i światło już liniowo spolaryzowane.

Kolejny filtr nie musi znów dać połowy. Teraz obowiązuje kąt między jego osią a ustaloną polaryzacją wiązki wychodzącej z pierwszego filtru. Dwa kolejne filtry o zgodnych osiach przepuszczą w modelu idealnym łącznie I₀/2, a nie I₀/4.

Przykład 1: dwa filtry pod kątem 60°

Na pierwszy filtr pada niespolaryzowana wiązka 80 W/m². Za nim mamy 40 W/m². Oś drugiego tworzy z pierwszym kąt 60°, więc cos²60° = 1/4. Dostajemy I₂ = 10 W/m². To jedna czwarta natężenia dochodzącego do drugiego filtru, ale jedna ósma natężenia na początku całego układu.

Wykonajmy kontrolę skrajną: obrót drugiego filtru do 0° powinien dać 40 W/m², a do 90° zero. Obrót o 180° odtwarza tę samą oś transmisji i ten sam wynik co 0°. Oś nie ma wyróżnionej końcówki; cos² poprawnie uwzględnia tę symetrię.

Przykład 2: dodatkowy filtr może rozjaśnić układ

Dwa skrzyżowane filtry, 0° i 90°, nie przepuszczają światła w modelu idealnym. Wstawmy pomiędzy nie trzeci, ustawiony na 45°. Po pierwszym mamy I₀/2. Środkowy przepuszcza połowę tej wartości i ustala nową oś polaryzacji. Ostatni nie jest teraz prostopadły do padającej na niego polaryzacji — tworzy z nią 45°. Otrzymujemy I₀/2 · 1/2 · 1/2 = I₀/8.

Nie ma tutaj produkowania energii przez dodatkowy kawałek folii. Zmieniły się stany pośrednie, a układ nadal przepuszcza tylko część energii wejściowej. Użycie cos²90° między pierwszym i ostatnim filtrem ignorowałoby działanie elementu znajdującego się po drodze.

Jeżeli środkową oś ustawimy pod 30° zamiast 45°, ostatni kąt wyniesie 60°. Dostajemy I₀/2 · 3/4 · 1/4 = 3I₀/32, czyli 9,375%. Dla wejścia 80 W/m² byłoby to 7,5 W/m². Największe natężenie dla tego trójfiltrowego układu uzyskujemy przy 45°, bo iloczyn cos²θ sin²θ = sin²(2θ)/4 ma wtedy największą wartość.

Co zmieni rzeczywisty eksperyment?

Prawdziwe filtry pochłaniają także część składowej przepuszczanej, a skrzyżowane osie nie zawsze dają doskonałą czerń. Ważne jest światło tła i to, czy źródło już wcześniej nie było częściowo spolaryzowane. Jeśli używamy ekranu urządzenia, nie zakładamy automatycznie niespolaryzowanego wejścia. Obracamy filtr, zapisujemy jasność dla kolejnych kątów i porównujemy kształt zmian, oddzielając tło od sygnału. Model idealny przewiduje zależność; nie zastępuje pomiaru własności konkretnego filtru.

Przykład mieszaniny: kiedy nie wolno po prostu dzielić przez dwa?

Określmy wejście dokładniej: nakładają się niespójne składniki o natężeniach 48 W/m², spolaryzowany liniowo wzdłuż osi 0°, oraz 32 W/m², niespolaryzowany. Razem dają 80 W/m². W tej mieszaninie nie możemy uznać, że dowolny pierwszy polaryzator przepuści zawsze 40 W/m².

Dla analizatora pod kątem φ składnik liniowy podlega prawu Malusa, a niespolaryzowany daje połowę swojego natężenia. Ponieważ te składniki są niespójne, sumujemy ich natężenia:

I(\varphi)=48\cos^2\varphi+\frac{32}{2}=48\cos^2\varphi+16\quad[\mathrm{W/m^2}].

Przy osi 0° otrzymujemy 64 W/m², przy 90° pozostaje 16 W/m², a przy 45° jest 40 W/m². W ramach tej jawnie założonej mieszaniny różnica maksimum i minimum pozwala odtworzyć składnik liniowy: 64 − 16 = 48 W/m². Podwojone minimum daje składnik niespolaryzowany: 2 · 16 = 32 W/m². Sprawdzenie sumy odtwarza wejściowe 80 W/m².

Taki wniosek zależy od modelu wejścia. Samo niezerowe minimum podczas obracania analizatora nie dowodzi, że całe pozostałe światło jest niespolaryzowane: na przykład polaryzacja kołowa również może dawać natężenie niezależne od kąta idealnego analizatora liniowego. W tym przykładzie nie próbujemy rozpoznawać wszystkich możliwych stanów polaryzacji, tylko obliczyć transmisję konkretnie opisanej mieszaniny. Zawsze warto zapisać stan wejścia przed użyciem czynnika 1/2.

Zadania do tego tematu

• Polaryzacja — zadanie: dwa filtry pod kątem 60 stopni
• Polaryzacja — zadanie: trzeci filtr między skrzyżowanymi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny