Dyfrakcja na szczelinie i siatka dyfrakcyjna

Potrzebne wiadomości: Interferencja, długość fali i sinus kąta.

Szczelina nie daje po prostu ostrego prostokąta światła

Gdy fala przechodzi przez wąską szczelinę, rozchodzi się za nią w wielu kierunkach. Na odległym ekranie powstaje szerokie maksimum centralne i słabsze maksima boczne rozdzielone minimami. To dyfrakcja. Promienie geometrii optycznej przestają wystarczać, bo musimy uwzględnić fazy fal dochodzących z różnych części otworu.

Przyjmujemy monochromatyczne, równomierne oświetlenie szczeliny o szerokości a, padanie prostopadłe i obserwację w dalekim polu. W praktyce dalekie pole można uzyskać także odpowiednią soczewką. Długość szczeliny traktujemy jako dużą w porównaniu z jej szerokością, dlatego opisujemy przede wszystkim rozkład w jednym kierunku.

Dlaczego pierwsze minimum spełnia a sin θ = λ?

Podziel szczelinę na dwie połowy. Każdemu punktowi górnej połowy przyporządkuj punkt przesunięty o a/2 w dolnej. W kierunku θ drogi takich dwóch fal różnią się o (a/2) sin θ. Jeżeli różnica wynosi λ/2, fale z każdej pary spotykają się w przeciwnych fazach i znoszą. Warunek pierwszego minimum jest więc a sin θ = λ.

Dla dalszych minimów można dzielić szczelinę na odpowiednią parzystą liczbę części. Otrzymujemy a\sin\theta_m=m\lambda,\qquad m=\pm1,\pm2,\ldots Wartości m = 0 nie dopisujemy do minimów: dla θ = 0 wszystkie części szczeliny świecą zgodnie w fazie i mamy maksimum centralne. To częsta pułapka przy mechanicznym podstawianiu do wzoru.

Przykład: szczelina i rozmiar plamki

Dla λ = 500 nm, a = 0,10 mm i odległości ekranu L = 2 m, przy małych kątach położenie pierwszego minimum wynosi y₁ ≈ Lλ/a = 0,010 m. Drugie ograniczenie centralnego maksimum znajduje się w −0,010 m. Szerokość wynosi zatem 20 mm, a nie 10 mm.

Zwęźmy szczelinę do 0,050 mm, nie zmieniając światła ani ekranu. Położenia pierwszych minimów odsuwają się dwukrotnie, a maksimum centralne ma szerokość 40 mm. Mniejszy otwór daje szerszy rozkład kątowy. Nie oznacza to większej całkowitej mocy światła za otworem: przez węższą szczelinę przechodzi zwykle mniej energii, rozłożonej na szerszy zakres kierunków.

Siatka: tutaj szukamy zgodnych faz między szczelinami

Siatka dyfrakcyjna ma wiele równoległych, regularnie rozmieszczonych szczelin. Ich odstęp oznaczamy d. W głównym maksimum fale z sąsiednich szczelin mają różnicę dróg równą całkowitej wielokrotności λ, zatem d\sin\theta_m=m\lambda. Ten wzór wygląda jak warunek minimum pojedynczej szczeliny, lecz dotyczy innej odległości i innego zjawiska: d to odstęp szczelin, a a było szerokością jednej szczeliny.

Wiele zgodnych fal daje wąskie, wyraźne maksima. Ich położenia zależą od d i λ, a liczba oświetlonych szczelin wpływa na ostrość. Skończona szerokość każdej szczeliny nadal tworzy obwiednię i może wygaszać niektóre rzędy. W prostych zadaniach ten efekt bywa pomijany — powinno to być wyraźnie podane.

Przykład: linie na milimetr i największy rząd

Siatka 500 linii/mm ma d = (1/500) mm = 0,002 mm = 2 μm. Dla λ = 600 nm = 0,600 μm żądany sinus wynosi m · 0,600/2. Może mieć wartość co najwyżej 1. Stąd |m| ≤ 3,33 i najwyższy całkowity rząd to 3. Dostępne kierunki to −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3: siedem łącznie z centralnym.

Dla trzeciego rzędu sin θ₃ = 0,9, więc θ₃ ≈ 64,16°. Nie używamy tu przybliżenia małych kątów. Czwarty rząd wymagałby sin θ = 1,2; takiego kierunku nie ma. Jeśli iloraz d/λ byłby dokładnie całkowity, graniczny kierunek leżałby przy 90°, wzdłuż siatki, i nie pojawiłby się na ekranie ustawionym za nią w skończonej odległości.

Jak zdecydować, którego warunku użyć?

Najpierw szkic i nazwy wymiarów. Jedna szczelina oraz pytanie o ciemne pasma: szerokość a i minima. Wiele szczelin oraz pytanie o główne jasne rzędy: okres d i maksima. Potem jednostki, dozwolona wartość sinusa i dopiero na końcu ewentualne przybliżenie y ≈ Lθ. Zamiana tych etapów może dać liczbę wyglądającą rozsądnie, ale opisującą zupełnie inną rzecz.

Brakujący rząd: gdy maksimum siatki trafia w minimum szczeliny

Warunek d sin θ = mλ mówi o zgodności faz fal wychodzących z różnych szczelin. Nie gwarantuje jednak, że pojedyncza szczelina wysyła silną falę w ten kierunek. Rozpatrzmy idealnie jednakowe, równomiernie oświetlone szczeliny o szerokości a = 1 µm, odległe o d = 2 µm, oraz λ = 0,5 µm. Zakładamy padanie prostopadłe i dalekie pole.

Dla rzędu m = 2 warunek siatki daje sin θ = 2 · 0,5/2 = 0,5, czyli θ = 30°. Jednocześnie a sin θ = 1 µm · 0,5 = 0,5 µm = λ. To dokładnie pierwsze minimum pojedynczej szczeliny. Wkłady z różnych części każdej szczeliny znoszą się, zanim sumowanie kolejnych szczelin mogłoby dać jasny prążek. Rzędy m = ±2 są więc w tym modelu brakujące.

W kierunkach zgodności faz natężenia względem centralnego maksimum są określone przez obwiednię:

\frac{I_m}{I_0}=\left[\frac{\sin(\pi a m/d)}{\pi a m/d}\right]^2,

z wartością graniczną 1 dla m = 0. Daje to około 0,405 dla m = ±1, zero dla m = ±2 i około 0,045 dla m = ±3. Te dwa ostatnie niezerowe rzędy są dozwolone, lecz znacznie słabsze. Wartości m = ±4 odpowiadają tutaj kierunkowi 90° i nie dają plamek na ekranie w skończonej odległości za siatką. Zniknięcie rzędu ±2 ma inną przyczynę niż ten warunek geometryczny.

Znaczniki na wykresie przedstawiają wartości w kierunkach d sin θ = mλ. Nie rysują szerokości rzeczywistych prążków: ta zależy między innymi od liczby oświetlonych szczelin. Dla skończonej siatki pełny profil jest iloczynem obwiedni szczeliny i czynnika interferencyjnego.

Zadania do tego tematu

• Dyfrakcja — zadanie: szerokość maksimum centralnego
• Siatka dyfrakcyjna — zadanie: najwyższy rząd widma

Dalsza lektura

Materiał referencyjny