Polaryzacja — zadanie: trzeci filtr między skrzyżowanymi

Rozwiązanie

Śledź polaryzację po każdym elemencie

Zacznij od osi 0°, potem 45°, na końcu 90°. Światło po przejściu filtru jest spolaryzowane zgodnie z jego osią. Drugi filtr porównuje więc swoją oś z pierwszą, a trzeci swoją z drugą. Nie można od razu porównać pierwszej z ostatnią i pominąć elementu środkowego.

Wyjściowe natężenie po każdym kroku jest wejściowym dla następnego. Zapisanie I₁, I₂, I₃ zapobiega ponownemu użyciu pełnego I₀ w ostatnim kroku. Połowa pojawia się najpierw z powodu niespolaryzowanego wejścia, a później dwukrotnie z cos²45°.

Układ z osią pośrednią 45°

Pierwszy polaryzator daje natężenie I₁ = I₀/2. Za środkowym otrzymujemy I₂ = I₁ cos²45° = I₀/4. Kierunek polaryzacji tej wiązki jest zgodny z osią środkowego filtru.

Ostatni filtr jest do niej ustawiony pod kątem 45°, dlatego I₃ = I₂ cos²45° = I₀/8.

Odpowiedź: jedna ósma, czyli 12,5% natężenia wejściowego.

Nie używamy cos²90° pomiędzy pierwszym i ostatnim filtrem, bo światło między nimi przeszło przez dodatkowy element zmieniający polaryzację. Układ nie narusza zachowania energii: wyjściowe natężenie pozostaje mniejsze od wejściowego, choć wzrosło względem układu bez środkowego filtru.

Inny kąt i inna kolejność

Dla osi środkowej 30° kąty kolejnych przejść wynoszą 30° i 60°. Dostajemy I₃/I₀ = 1/2 · 3/4 · 1/4 = 3/32 = 9,375%. Wynik jest mniejszy niż 12,5% dla 45°: dwa etapy nie dzielą odchylenia równomiernie.

Po przeniesieniu filtru pośredniego na koniec światło najpierw napotka dwa skrzyżowane idealne polaryzatory. Za drugim natężenie wyniesie zero, więc ostatni nie ma czego przepuszczać. To nie jest przemienne mnożenie tych samych trzech współczynników: zmiana kolejności zmienia kąty między kolejnymi stanami polaryzacji.

Cztery filtry: jeszcze mniejsze kroki obrotu

Wynik 1/8 dotyczy trzech idealnych filtrów o osiach 0°, 45°, 90°. Dodajmy osobny układ czterech filtrów: 0°, 30°, 60°, 90°. Po pierwszym pozostaje I₀/2, a każda z trzech kolejnych zmian osi o 30° mnoży natężenie przez cos² 30° = 3/4. Otrzymujemy kolejno:

\frac{I_0}{2},\qquad\frac{3I_0}{8},\qquad\frac{9I_0}{32},\qquad\frac{27I_0}{128}\approx0{,}21094I_0.

Przechodzi więcej niż 0,125 I₀ z układu trzech filtrów, ponieważ każda następna projekcja usuwa mniejszą część już spolaryzowanej fali. Nie oznacza to wzmacniania światła: na każdym etapie natężenie maleje.

Jeśli obrót od 0° do 90° podzielimy na N równych kroków, potrzebujemy N + 1 filtrów. Dla niespolaryzowanego wejścia idealna transmisja wynosi:

T_N=\frac12\cos^{2N}\left(\frac{\pi}{2N}\right).

Dla N = 1 mamy dwa skrzyżowane filtry i zero; dla N = 2 trzy filtry i 1/8; dla N = 6 siedem filtrów i około 0,32983. W granicy coraz większej liczby idealnych, coraz mniejszych obrotów transmisja zbliża się do 1/2, nigdy nie odtwarzając połowy usuniętej przez pierwszy filtr.

Każdy rzeczywisty filtr może jednak tłumić także składową zgodną ze swoją osią. W prostym dodatkowym modelu przyjmijmy transmisję natężenia tej składowej η = 0,90 i idealne wygaszenie składowej prostopadłej. Wtedy wynik mnożymy przez ηᴺ⁺¹. Czerwona seria pokazuje, że dodawanie filtrów nie musi już stale zwiększać transmisji: korzyść z mniejszych obrotów konkuruje ze stratami w kolejnych elementach. Wartość η jest założeniem porównawczym, nie pomiarem konkretnego polaryzatora.

Powiązana teoria

Polaryzacja światła i prawo Malusa

Dalsza lektura

Materiał referencyjny