Polaryzacja — zadanie: dwa filtry pod kątem 60 stopni

Rozwiązanie

Dwa etapy, dwa różne uzasadnienia

Pierwszy filtr otrzymuje światło niespolaryzowane, więc korzystamy ze średniego przepuszczania połowy natężenia. Drugi otrzymuje już konkretną polaryzację ustaloną przez pierwszy, dlatego stosujemy prawo Malusa z kątem 60°. Te dwa kroki nie są zamienne.

Najpierw zapisujemy I₁, a następnie I₂ = I₁ cos²60°. Kwadrat wynika z tego, że filtr rzutuje amplitudę pola na swoją oś, zaś natężenie zależy od kwadratu amplitudy. Wynik po drugim filtrze musi być nie większy niż I₁ i nieujemny.

Światło niespolaryzowane

Pierwszy idealny polaryzator przepuszcza połowę natężenia niespolaryzowanej wiązki: I₁ = 80/2 = 40 W/m².

Do drugiego dochodzi światło liniowo spolaryzowane. Otrzymujemy I₂ = I₁ cos²60° = 40 · (1/2)² = 10 W/m².

Odpowiedź: 40 W/m² za pierwszym i 10 W/m² za drugim filtrem.

Drugi filtr przepuścił jedną czwartą padającego na niego natężenia, a cały układ jedną ósmą natężenia początkowego. Wynik 20 W/m² po drugim filtrze odpowiadałby nieuzasadnionemu ponownemu dzieleniu przez dwa lub pominięciu kwadratu cosinusa.

Zmiana stanu wejściowego

Jeśli wejście jest już liniowo spolaryzowane zgodnie z pierwszą osią, pierwszy idealny filtr przepuszcza pełne 80 W/m². Drugi nadal daje czynnik cos²60° = 1/4, zatem I₂ = 20 W/m². Nie wstawiamy dodatkowego dzielenia przez dwa, bo nie uśredniamy nieznanych orientacji wejściowych.

W ten sposób same dwa kąty nie wystarczają do rozwiązania dowolnego zadania o filtrach: trzeba również znać stan polaryzacji wiązki padającej. Dla wejścia spolaryzowanego prostopadle do pierwszej osi cały dalszy układ otrzymałby zero w modelu idealnym.

Dlaczego nie jest to ten sam opis co dla dźwięku?

Dla światła pole elektryczne drga prostopadle do kierunku rozchodzenia się wiązki. Polaryzator wybiera kierunek w tej poprzecznej płaszczyźnie. W zwykłej fali dźwiękowej w powietrzu cząsteczki drgają wzdłuż kierunku rozchodzenia się zaburzenia; nie ma tu dwóch poprzecznych osi drgań do wybrania. Nie stosujemy więc opisanego mechanizmu polaryzacji do tej fali podłużnej. Nie oznacza to, że dźwięk nie może być tłumiony lub kierowany — to inne zjawiska.

Kontrola pomiarowa: co zmieni niedokładność ustawienia o jeden stopień?

Załóżmy dodatkowo, że rzeczywisty kąt między osiami może wynosić od 59° do 61°. Wejście nadal jest niespolaryzowane i ma 80 W/m², zatem po pierwszym idealnym filtrze pozostaje 40 W/m². Liczymy z tego samego wzoru I₂ = 40 cos² θ, zmieniając wyłącznie kąt:

I_2(59^\circ)\approx10{,}611\ \mathrm{W/m^2},\quad I_2(60^\circ)=10\ \mathrm{W/m^2},\quad I_2(61^\circ)\approx9{,}402\ \mathrm{W/m^2}.

Odchylenie o ±1° daje w pobliżu 60° zmianę około ±0,60 W/m², czyli około 6% oczekiwanego wyniku 10 W/m². Nie wyznaczamy tego procentu przez podzielenie 1° przez 60°. Natężenie zależy od kwadratu cosinusa, a nie liniowo od kąta. Niewielka asymetria dwóch zmian jest naturalnym skutkiem krzywizny funkcji cos².

W pobliżu osi równoległych sytuacja wygląda inaczej. Zmiana kąta z 0° do 1° obniżyłaby transmisję z 40 do około 39,988 W/m², czyli tylko o około 0,0305%. Z kolei blisko 90° niewielka niezgodność ustawienia daje małe, ale niezerowe natężenie zamiast idealnego zera. Względny błąd względem zera nie jest wtedy sensowną wielkością; podajemy natężenie bezwzględne.

W tych rachunkach sprawdzamy sam wpływ ustawienia osi. Nie zakładamy, że konkretny przyrząd ma dokładność ±1°, ani nie uwzględniamy pochłaniania, tła i niedoskonałego wygaszania rzeczywistych filtrów. Jeśli wejście jest już spolaryzowane, pierwszy czynnik 1/2 trzeba zastąpić odpowiednią projekcją i całe porównanie wykonać ponownie.

Powiązana teoria

Polaryzacja światła i prawo Malusa

Dalsza lektura

Materiał referencyjny