Siatka dyfrakcyjna — zadanie: najwyższy rząd widma

Rozwiązanie

Gęstość linii to odwrotność odstępu

500 linii na milimetr oznacza, że na odcinku 1 mm mieści się 500 okresów siatki. Okres d jest więc równy 1 mm/500. Nie podstawiamy liczby 500 jako odległości. Najwygodniej wyrazić potem d i λ w tych samych jednostkach, na przykład mikrometrach.

Główne maksimum wymaga d sin θ = mλ. Numer m musi być całkowity, a sinus nie może przekroczyć jedności. Najpierw wyznaczamy ograniczenie numeru rzędu, potem liczymy kąt konkretnego dopuszczalnego maksimum. Symetria daje pary ±m oraz jeden prążek centralny.

Wynik dla 600 nm

Okres wynosi d = 1/500 mm = 0,002 mm = 2,0 μm. Iloraz d/λ = 2,0/0,600 ≈ 3,33, więc najwyższy całkowity rząd ma numer 3.

Dla niego sin θ₃ = 3 · 0,600/2,0 = 0,90, czyli θ₃ ≈ 64,16°. Dostępne rzędy to −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Odpowiedź: trzeci rząd, kąt około 64,2° i siedem kierunków głównych maksimów.

Czwarty rząd wymagałby sin θ = 1,2 i nie istnieje. Przy kącie ponad 60° nie można zastąpić sinusa samym kątem w radianach; tutaj potrzebny był dokładny warunek kątowy.

Przypadek dokładnie na granicy

Dla 500 nm iloraz d/λ wynosi dokładnie 4. Formalny rząd m = 4 spełnia sin θ = 1, czyli θ = 90°. Biegnie wzdłuż płaszczyzny siatki i nie trafia na ekran ustawiony za nią w skończonej odległości. Kąty ściśle mniejsze niż 90° mają rzędy −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3: siedem kierunków.

To pokazuje, dlaczego warto przeczytać, co w zadaniu znaczy „możliwy” albo „obserwowany”. Pierwotny przypadek 600 nm nie ma tej granicznej niejednoznaczności, bo jego najwyższy rząd leży wyraźnie poniżej 90°.

Ile z siedmiu kierunków zmieści się na rzeczywistym ekranie?

Dodajmy ekran prostopadły do kierunku zerowego, oddalony od siatki o L = 1 m. Jego aktywna część sięga od y = −0,50 m do +0,50 m. Pierwotne siedem rzędów dla λ = 600 nm jest geometrycznie dozwolone w przestrzeni, lecz nie wszystkie muszą trafić w tak mały ekran.

Skrajny kąt widziany przez ekran spełnia tan θmax = 0,50/1,00, więc θmax ≈ 26,57° i sin θmax ≈ 0,4472. Dla siatki d = 2 µm kolejne dodatnie rzędy mają sin θ równe 0,3; 0,6; 0,9. Tylko pierwszy mieści się poniżej 0,4472. Dokładne przeliczenie y = L tan θ daje:

y_1\approx0{,}3145\ \mathrm m,\qquad y_2=0{,}7500\ \mathrm m,\qquad y_3\approx2{,}0647\ \mathrm m.

Na ekran trafiają więc trzy kierunki: m = −1, 0, +1. Rzędy ±2 i ±3 nadal istnieją w modelu siatki, ale mijają aktywną powierzchnię. Przy λ = 500 nm pierwszy rząd pada przy około 0,2582 m, a drugi przy 0,5774 m, zatem ten sam ekran także zarejestruje tylko trzy kierunki. Rzędy ±4 przy tej długości fali biegną równolegle do płaszczyzny ekranu i w ogóle jej nie przecinają.

W doświadczeniu „liczba obserwowanych plamek” może być dodatkowo ograniczona ich natężeniem i czułością detektora. Tutaj policzyliśmy wyłącznie ograniczenie rozmiarem ekranu. Rozdzielamy więc trzy pytania: czy dany rząd jest dozwolony, czy trafia w detektor i czy jest dostatecznie jasny, by go wykryć.

Powiązana teoria

Dyfrakcja na szczelinie i siatka dyfrakcyjna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny